المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات:

نتناول في هذا البند دراسة العلاقة بين مفهوم الأساس ومصفوفة الإحداثيات، وسندرس أيضاً طريقة تبديل أساسات فضاء المتجهات.

تعريف ((1-1:

يقال للمصفوفة المربعة A متعامدة إذا تحققت العلاقة:

مثال(1):

برهن أن  مصفوفة متعامدة. اوجد A^-1.

لما كان:

مثال(2):

المصفوفة الأساسية لدوران R² حول زاوية قيمتها θ هي:

مبرهنة (1-2):

لتكن A مصفوفة سعتها n x n فإن الصيغ الآتية تكون متكافئة.

1. A متعامدة.

2. متجهات صفوف A تكون مجموعة عيارية في R" مع الضرب الداخلي الاقليدي.

3. متجهات أعمدة A تكون مجموعة عيارية في R" مع الضرب الداخلي الاقليدي.

البرهان: 1←2

العنصر في الصف i والعمود رقم j في حاصل الضرب AA^T هو الضرب النقطي للمتجه في الصف i من A والمتجه العمود رقم j في A^T. لكن متجه العمود رقم j في A^T هو نفسه متجه الصف رقم j في A. لذا إذا كانت a_n, … , a₂, a₁ هي متجهات صفوف A فإن الضرب AA^T يمكن كتابته بالشكل:

لذا فإن AA^T = 1 إذا وفقط إذا كان ،هذه العلاقات تكون صحيحة إذا وفقط إذا {a₁, a₂, …, a_n} مجموعة عيارية في Rⁿ.

بنفس الأسلوب نبرهن 1←3

خواص المصفوفات المتعامدة:

إذا كانت A و B مصفوفتان متعامدتان فإن:

1. معكوس A مصفوفة متعامدة.

2. A B مصفوفة متعامدة.

3 det A = 1   أو  det A = -1

البرهان:

1. بما أن A متعامدة فإن A^T = A^-1 لهذا فإن A^-1 متعامدة.

2. لدينا A^T = A^-1  و  B^T = B^-1  عليه:

ومن هذا نستنتج ان AB متعامدة.

3. لدينا AA^T = 1

تبديل الأساسات

سنكتفي بشرح طريقة تبديل الأساسات في فضاء البعد الثاني ومن ثم نعمم تلك الطريقة للبعد n.

نفرض v₁, v₂}=S   هي مجموعة الأساس القديم  و v'₁ , v'₂}=S'  الأساس الجديد. لإيجاد مصفوفات الإحداثيات لمتجهات الأساس الجديد نسبة للأساس القديم نفترض أن أي أن:

ولكي نجد إحداثيات المتجه v القديمة نكتب v بدلالة الأساس S نعوض (2) في (3) سنحصل على:

أي ان مصفوفة الإحداثيات القديمة _s[v] تساوي حاصل ضرب مصفوفة الإحداثيات الجديدة بالمصفوفة  من جهة اليسار حيث أعمدة P هي إحداثيات متجهات الاساس الجديد نسبة للأساس القديم.

وبصورة عامة:

إذا نقلنا أساس فضاء المتجهات V من الأساس القديم v₁, v₂, …, v_n}=S   إلى الأساس الجديد    {v'₁, v'₂, …. , v'_n} S' =  فإن مصفوفة الإحداثيات القديمة _S[v] للمتجه v يمكن ربطها بمصفوفة الإحداثيات الجديدة _s'[v] لنفس المتجه v بواسطة العلاقة:

حيث أن أعمدة P هي مصفوفات إحداثيات الأساس، لجديد نسبة للأساس القديم، أي أن أعمدة P هي:

تعريف (1-3):

المصفوفة P التي تنقل الاساس الجديد S' للأساس القديم S تسمى مصفوفة انتقال S' إلى S  ويعبر عنها كمتجهات أعمدة بالشكل:

مثال(3):

مثال(4):

إذا كانت v'₂, v'₁, v₂, v₁ كما في المثال(3) فما هي مصفوفة الانتقال من S' إلى S. من الواضح أن:

خواص مصفوفات الانتقال:

1. إذا ضربنا مصفوفة الانتقال من S إلى S' بمصفوفة الانتقال من S' إلى S نجد أن:

لهذا فإن PQ = 1 أي أن Q = P^-1

2. إذا كانت P مصفوفة الانتقال من S' إلى S. فإن لكل متجه v تتحقق العلاقات الآتية:

3. إذا كانت P مصفوفة انتقال من أساس عياري إلى أساس عياري آخر لفضاء الضرب الداخلي، فإن P مصفوفة متعامدة، أي أن P^-1 = P^T.

مثال(5):

لتكن   الناتجة من تدوير المحاور y, x بزاوية θ إلى المحاور y' , x'.

عليه فإن: