معادلة خط المستقيم المماس للمنحني : TANGENT LINES

تعطى معادلة الخط المستقيم المماس للمنحني عند النقطة p = (x_o , y_o) كما يلي:

ويمكن توضيح معادلة هذا الخط المستقيم المماس للمنحني كما يلي:

شكل (1-1)

مثال (1) : أوجد معادلة المستقيم المماس العمودي (Vertical Tangent Lines)

للدالة :y = f(x) = x^1/3  عند الفاصلة x = 0 ؟

الحل: لتوضيح الفكرة نقوم برسم منحنى الدالة والذي هو كما يلي:

شكل (2-1)

يمكن التأكد وببساطة أن : وعلي فإن قيمة ميل المستقيم المماس للمنحني عند النقطة المطلوبة غير محدد، وهو ما يؤكد أنه مماس رأسي وقيمته هي:

مثال (2) : تأكد ان الدالة ذات المعادلة  [x]y = f(x) =  لا تقبل خط المماس المستقيم عند الفاصلة x = 0؟

الحل :

لتوضيح الفكرة نقوم في البداية بتمثيل منحنى والذي هو كما يلي:

شكل (3-1)

يتضح من التمثيل البياني أن الدالة لا تقبل مماساً عند الفاصلة x = 0 ، لأنه وببساطة أن قيمة نسبة التغاير عند هذه الفاصلة غير موجودة، وهو ما توضحه المعادلات التالية :

وهذا ما يؤكد أن : غير موجودة ، وعليه نسبة التغاير عند هذه الفاصلة غير ثابتة ، وهو ما يعني أن : ...................... غير موجودة عند الفاصلة المطلوبة.

مثال (3) : أوجد نسبة التغاير للدالة : ، ثم اثبت أن الدالة تقبل المستقيم الذي معادلته y = 0 هو خط مماس أفقي؟

الحل:

لتوضيح فكرة العلاقة التي تربط بين نسبة التغاير والمماس عند النقطة (0,0) نقوم بتمثيل منحنى الدالة والذي هو كما يلي:

شكل (4-1)

يمكن التأكد وببساطة أن :

ميل خط المستقيم المماس يعبر عن المستقيم الذي معادلته y = 0 وهذا هو المطلوب توضيحه.

المستقيم العمودي على المنحنى في نقطة p (Normal Lines): تبحث هنا عن العلاقة التي تربط معادلة المستقيم وصيغة الدالة التي يقطع منحناها بشكل عمودي في النقطة P ، والموضح في الشكل التالي:

شكل (5-1)

مثال : بين خط المستقيم المماس لمنحنى الدالة f(x) = x² في النقطة (1,1).

الحل :

مماس الخط المستقيم العمودي على المنحنى في النقطة (1,1) يمكن حسابه بالشكل :

وعليه، فإن ميل الخط العمودي على المنحنى هو -1/2 وعليه فإن معادلة خط المستقيم العمودي على المنحني في النقطة (1,1) هي :