المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
القيمة الغذائية للثوم Garlic
2024-11-20
العيوب الفسيولوجية التي تصيب الثوم
2024-11-20
التربة المناسبة لزراعة الثوم
2024-11-20
البنجر (الشوندر) Garden Beet (من الزراعة الى الحصاد)
2024-11-20
الصحافة العسكرية ووظائفها
2024-11-19
الصحافة العسكرية
2024-11-19

مواصفات المؤمن في نظر علي بن أبي طالب (عليه السلام) / القوة في الدين
2023-10-08
اسماعيل بن محمّد بن إسماعيل.
30-12-2016
خليفة بن الصباح بن خليفة
4-8-2017
التركيز الإداري
14-6-2018
افلا يتدبرون؟
3-3-2022
نيل الدرجات العليا يوم القيامة
30-01-2015

Surface of Revolution  
  
2285   03:51 مساءً   date: 22-4-2020
Author : Anton, H
Book or Source : Calculus: A New Horizon, 6th ed. New York: Wiley, 1999.
Page and Part : ...


Read More
Date: 16-5-2020 1301
Date: 10-11-2020 661
Date: 23-1-2020 1270

Surface of Revolution 

A surface of revolution is a surface generated by rotating a two-dimensional curve about an axis. The resulting surface therefore always has azimuthal symmetry. Examples of surfaces of revolution include the apple surface, cone (excluding the base), conical frustum (excluding the ends), cylinder (excluding the ends), Darwin-de Sitter spheroid, Gabriel's horn, hyperboloid, lemon surface, oblate spheroid, paraboloid, prolate spheroid, pseudosphere, sphere, spheroid, and torus (and its generalization, the toroid).

The area element of the surface of revolution obtained by rotating the curve y=f(x)>0 from x=a to x=b about the x-axis is

dS_x = 2piyds

(1)

=

(2)

so the surface area is

S_x =

(3)

=

(4)

(Apostol 1969, p. 286; Kaplan 1992, p. 251; Anton 1999, p. 380). If the curve is instead specified parametrically by (x(t),y(t)), the surface area obtained by rotating the curve about the x-axis for t in [a,b] if x(t)>0 in this interval is given by

(5)

Similarly, the area of the surface of revolution obtained by rotating the curve x=g(y)>0 from y=c to y=d about the y-axis is given by

S_y =

(6)

= 2piint_c^dxsqrt(1+((dx)/(dy))^2)dy

(7)

(Anton 1999, p. 380). If the curve is instead specified parametrically by (x(t),y(t)), the surface area obtained by rotating the curve about the y-axis for t in [c,d] if y(t)>0 in this interval is given by

(8)

SurfaceOfRevolution

The following table gives the lateral surface areas S for some common surfaces of revolution where r denotes the radius (of a cone, cylinder, sphere, or zone), R_1 and R_2 the inner and outer radii of a frustum, h the height, e the ellipticity of a spheroid, and a and c the equatorial and polar radii (for a spheroid) or the radius of a circular cross-section and rotational radius (for a torus).

surface S
cone pirsqrt(r^2+h^2)
conical frustum pi(R_1+R_2)sqrt((R_1-R_2)^2+h^2)
cylinder 2pirh
oblate spheroid 2pia^2+(pic^2)/eln((1+e)/(1-e))
prolate spheroid 2pia^2+(2piac)/esin^(-1)e
sphere 4pir^2
torus 4pi^2ac
zone 2pirh

The standard parameterization of a surface of revolution is given by

x(u,v) = phi(v)cosu

(9)

y(u,v) = phi(v)sinu

(10)

z(u,v) = psi(v).

(11)

For a curve so parameterized, the first fundamental form has

E = phi^2

(12)

F = 0

(13)

G =

(14)

Wherever phi and  are nonzero, then the surface is regular and the second fundamental form has

e =

(15)

f = 0

(16)

g =

(17)

Furthermore, the unit normal vector is

(18)

and the principal curvatures are

kappa_1 =

(19)

kappa_2 =

(20)

The Gaussian and mean curvatures are

K =

(21)

H =

(22)

(Gray 1997).

Pappus's centroid theorem gives the volume of a solid of rotation as the cross-sectional area times the distance traveled by the centroid as it is rotated.


REFERENCES:

Anton, H. Calculus: A New Horizon, 6th ed. New York: Wiley, 1999.

Apostol, T. M. Calculus, 2nd ed., Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability. Waltham, MA: Blaisdell, 1969.

Gray, A. "Surfaces of Revolution." Ch. 20 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 457-480, 1997.

Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "The Cylinder, the Cone, the Conic Sections, and Their Surfaces of Revolution." §2 in Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 7-11, 1999.

Kaplan, W. Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1992.

Kreyszig, E. Differential Geometry. New York: Dover, p. 131, 1991.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.