ذرة الهيدروجين شبه الكلاسيكية

دعنا نفترض أن ذرة الهيدروجين مكونة من إلكترون كتلته m يدور في مدار حول النواة. (ولكي نتمكن فيما بعد من تطبيق هذه الحسابات على ذرات أخرى حيث Z > 1 فإننا سنعتبر الشحنة النووية مساوية Ze. وللهيدروجين Z = 1).

ونعلم جيداً أن للإلكترون خواص موجية وان طول دي برولي الموجي له هو   = h/mvλ على أن الإلكترون لن يتواجد في حالة مستقرة مال تكون موجة دي برولي له موجة موقوفة داخل المدار. ولكي يحدث هذا الرنين، لابد أن يكون طول المدار 2πr مساوياً لعدد صحيح من الأطوال الموجية.

وهناك مثال على رنين موجة دي برولي للإلكترون في مدار دائري ويوضحه الشكل 1)) ، الذي يبين مدار يساوي طوله أربعة أطوال موجية. وكلما التفت الموجة حول المدار مرات ومرات فإن قمة سوف تحدث فوق قمة وقاع فوق قاع ؛ وهذا هو شرط حدوث الحالة المستقرة والرنين. وعلى ذلك يكون شرط الرنين بالنسبة لمدار به عدد n طول موجي لدى برولي هو

(1)      

الشكل 1)): رنين موجات الإلكترون هو الذي يحدد المدارات المستقرة في النموذج شبه الكلاسيكي ولو أن طول المدار 2πr كان مساوياً لعدد صحيح من الأطوال الموجية فإن الموجة ستقوى نفسها عند عودتها إلى نقطة البداية A. وفي الحالة المبينة هنا 2πr = 4λ.

ويبين التحليل المفصل باستخدام الميكانيكا الموجية أن مدار الإلكترون الذي يحقق هذا الشرط للرنين لابد أن يكون مستقراً. والإلكترون في مثل هذا المدار لا يقوم بشكل متواصل بإشعاع الطاقة بالطريقة التي تفعلها شحنة نقطية تدور في مدار حسب النموذج الكلاسيكي. وحيث أن _electron = h/mvλ فيمكننا أن نعيد كتابة المعادلة (1) على الصورة المناسبة ونحلها بحثاً عن كمية الزاوية r_a mv_a لإلكترون في المدار رقم n:

(2)           

يلاحظ أن هذه المعادلة لكمية التحرك الزاوية هي نفس الشرط الذي وضعه بوهر لاختيار المدارات المستقرة، وإن كان لم يستطع تقدير تبرير فيزيائي له. ونرى الآن لماذا كان لابد من صحته: إنه شرط حدوث رنين لموجة الإلكترون داخل الذرة ولسوء الحظ فإن كلاً من v_a وr_a غير معلومة في المعادلة (2)، وعلينا إيجاد معادلة أخرى للوصول إلى هاتين الكميتين اللتين تمزان المدارات الإلكترونية وقد تلوى بوهر إيضاح كيفية عمل هذا.

يمكننا إيجاد معادلة ثانية إذا تنبهنا إلى أن قوى كولوم، الكلاسيكية، بين الإلكترون والنواة ذات الشحنة الموجية، هي التي توفر قوى الجذب المركزي التي تمسك بالإلكترون في مداره. فإذا اعتبرنا أن النواة الثقيلة ستظل ساكنة، لأمكننا كتابة ما يلي للإلكترون المتحرك في المدار.

قوة كولوم = قوة الجذب المركزي

(3)      

حيث k_e هو ثابت قوة كولوم (k_e = 8.99×10⁹ N.m²/C²).

يمكننا الآن حل المعادلتين (2) و (3) آنياً لإيجاد سرعة الإلكترون v_a ونصف قطر مداره r_a:

(4)    

حيث r₁ هو نصف قطر أصغر مادر ممكن (n = 1)، ويعطى بالمعادلة

(5)