هاملتون دائر قاسي

تكتب طاقة الدائر تحت الشكل الهاملتوني:

حيث g^λμ تابع للإحداثيات φ, ψ, θ:

إذا أخذنا المؤثرات P_x P_y P_z المرافقة في ميكانيك الكم لمركبات العزم الزاوي على المحاور المتحركة المرتبطة بالجزيئة يمكن أن نبرهن بأن الهاملتونيان الدائر القاسي يكتب بالشكل :

القيم الخاصة والحالات لمركبات العزم الزاوي :

1- المؤثر P_z:

مسقط العزم الزاوي على المحور oZ ثابت في الفضاء. تكتب معادلة القيم الخاصة للمؤثر P_z بالشكل :

والحساب يعطى:

هذه القيم الخاصة غير متوالدة والتوابع الخاصة تعتمد فقط على العدد الكمي M:

حيث ψ زاوية أولر الثانية ، ψ_φ تابع مستقل عن ψ .

2- المؤثر P_z:

لنعتبر الآن مسقط العزم الزاوي على المحور z المرتبط بالجزيء وبالتالي تكون : 

حيث φ زاوية أولر الثالثة ψ^'_o تابع مستقل عن φ .

3 - المؤثر p² :

ومعادلة القيم الخاصة تكتب :

حيث:

القيم الخاصة هذه متوالدة والتوابع الخاصة الموافقة تكتب :

حيث التابع H تابع ل 0 ذو صيغة معقدة و N_JKM ثابت التنظيم.