المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
{ان أولى الناس بإبراهيم للذين اتبعوه}
2024-10-31
{ما كان إبراهيم يهوديا ولا نصرانيا}
2024-10-31
أكان إبراهيم يهوديا او نصرانيا
2024-10-31
{ قل يا اهل الكتاب تعالوا الى كلمة سواء بيننا وبينكم الا نعبد الا الله}
2024-10-31
المباهلة
2024-10-31
التضاريس في الوطن العربي
2024-10-31


Generating Function  
  
1143   03:16 مساءً   date: 16-7-2020
Author : Bender, E. A. and Goldman, J. R.
Book or Source : "Enumerative Uses of Generating Functions." Indiana U. Math. J. 20
Page and Part : ...


Read More
Date: 26-1-2021 1811
Date: 11-11-2019 697
Date: 9-1-2021 1821

Generating Function 

A generating function f(x) is a formal power series

 f(x)=sum_(n=0)^inftya_nx^n

(1)

whose coefficients give the sequence {a_0,a_1,...}.

The Wolfram Language command GeneratingFunction[exprnx] gives the generating function in the variable x for the sequence whose nth term is expr. Given a sequence of terms, FindGeneratingFunction[{a1, a2, ...}x] attempts to find a simple generating function in x whose nth coefficient is a_n.

Given a generating function, the analytic expression for the nth term in the corresponding series can be computing using SeriesCoefficient[expr{xx0n}]. The generating function f(x) is sometimes said to "enumerate" a_n (Hardy 1999, p. 85).

Generating functions giving the first few powers of the nonnegative integers are given in the following table.

n^p f(x) series
1 x/(1-x) x+x^2+x^3+...
n x/((1-x)^2) x+2x^2+3x^3+4x^4+...
n^2 (x(x+1))/((1-x)^3) x+4x^2+9x^3+16x^4+...
n^3 (x(x^2+4x+1))/((1-x)^4) x+8x^2+27x^3+...
n^4 (x(x+1)(x^2+10x+1))/((1-x)^5) x+16x^2+81x^3+...

There are many beautiful generating functions for special functions in number theory. A few particularly nice examples are

f(x) = 1/((x)_infty)

(2)

= sum_(n=0)^(infty)P(n)x^n

(3)

= 1+x+2x^2+3x^3+...

(4)

for the partition function P, where (q)_infty is a q-Pochhammer symbol, and

f(x) = x/(1-x-x^2)

(5)

= sum_(n=0)^(infty)F_nx^n

(6)

= x+x^2+2x^3+3x^4+...

(7)

for the Fibonacci numbers F_n.

Generating functions are very useful in combinatorial enumeration problems. For example, the subset sum problem, which asks the number of ways c_(m,s) to select m out of M given integers such that their sum equals s, can be solved using generating functions.

The generating function of G(t) of a sequence of numbers f(n) is given by the Z-transform of f(n) in the variable 1/t (Germundsson 2000).


REFERENCES:

Bender, E. A. and Goldman, J. R. "Enumerative Uses of Generating Functions." Indiana U. Math. J. 20, 753-765, 1970/1971.

Bergeron, F.; Labelle, G.; and Leroux, P. "Théorie des espèces er Combinatoire des Structures Arborescentes." Publications du LACIM. Québec, Montréal, Canada: Univ. Québec Montréal, 1994.

Cameron, P. J. "Some Sequences of Integers." Disc. Math. 75, 89-102, 1989.

Doubilet, P.; Rota, G.-C.; and Stanley, R. P. "The Idea of Generating Function." Ch. 3 in Finite Operator Calculus (Ed. G.-C. Rota). New York: Academic Press, pp. 83-134, 1975.

Germundsson, R. "Mathematica Version 4." Mathematica J. 7, 497-524, 2000.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Harary, F. and Palmer, E. M. Graphical Enumeration. New York: Academic Press, 1973.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, p. 85, 1999.

Lamdo, S. K. Lectures on Generating Functions. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003.

Leroux, P. and Miloudi, B. "Généralisations de la formule d'Otter." Ann. Sci. Math. Québec 16, 53-80, 1992.

Riordan, J. Combinatorial Identities. New York: Wiley, 1979.

Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, 1980.

Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications, 4th ed. New York: McGraw-Hill, 1998.

Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. "Recurrences and Generating Functions." §2.4 in The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, pp. 9-10, 1995.

Stanley, R. P. Enumerative Combinatorics, Vol. 1. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 63, 1996.

Viennot, G. "Une Théorie Combinatoire des Polynômes Orthogonaux Généraux." Publications du LACIM. Québec, Montréal, Canada: Univ. Québec Montréal, 1983.

Wilf, H. S. Generatingfunctionology, 2nd ed. New York: Academic Press, 1994.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.