3. ضرب المصفوفات:
هناك شكلين أساسيين لضرب المصفوفات، الشكل الأول هو ضرب المصفوفة في مقدار ثابت، والشكل الثاني هو ضرب مصفوفة في مصفوفة أخرى، والأمثلة التالية توضح ضرب المصفوفات كما يلي:
أ- ضرب مقدار ثابت في المصفوفة
يتم الحصول على حاصل ضرب كمية ثابتة k في مصفوفة بضرب الكمية الثانية من كل عنصر من عناصر المصفوفة، وهذه الطريقة لا تختلف باختلاف شكل المصفوفة سواء كانت تأخذ شكل متجه أو مصفوفة مربعة أو مصفوفة غير مربعة.
ب ـ حاصل ضرب مصفوفتين
حتى يمكن ضرب مصفوفتين في بعضهما لابد من توافر شرط أساسي وهو أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية، ويتمثل حاصل ضرب المصفوفتين في مصفوفة جديدة عدد صفوفها يساوي عدد صفوف المصفوفة الأولى وعدد أعمدتها يساوي عدد أعمدة المصفوفة الثانية.
يشترط لضرب مصفوفتين أن يكون:
عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية
معنى ذلك أنه لكي نستطيع ضرب أي مصفوفتين A * B لا بد وأن يكون المصفوفتان قابلتان للضرب أي أن المصفوفة A تضرب في المصفوفة B ويتحقق ذلك إذا كان عدد أعمدة المصفوفة A مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة B والسبب في ذلك أنه عند ضرب المصفوفات نضرب عناصر كل صف من صفوف المصفوفة الأولى في عناصر كل عمود من أعمدة المصفوفة الثانية.
فإذا كان لدينا المصفوفة A34 وهي مصفوفة مكونة من ثلاثة صفوف وأربعة أعمدة، فإنه يشترط لعملية الضرب أن تكون المصفوفة الثانية بها 4 صفوف وأي عدد من الأعمدة. ويكون الناتج مصفوفة بها عدد صفوف المصفوفة الأولى وعدد أعمدة المصفوفة الثانية كما يلي:
ويتم الضرب على النحو التالي:
- يتم ضرب عناصر الصف الأول بالمصفوفة الأولى × عناصر العمود الأول، ثم × عناصر العمود الثاني، ثم × عناصر العمود الثالث بالمصفوفة الثانية لينتج لنا عناصر الصف الأول بالمصفوفة الجديدة.
- يضرب عناصر الصف الثاني بالمصفوفة الأولى × عناصر العمود الأول، ثم × عناصر العمود الثاني، ثم × عناصر العمود الثالث بالمصفوفة الثانية لينتج لنا عناصر الصف الثاني بالمصفوفة الجديدة.
- وهكذا...
مثال: أوجد حاصل ضرب المصفوفتين:
أوجد:
لا يمكن إجراء عملية الضرب بسبب عدم توافر الشرط الأساسي للضرب حيث أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى لا يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية.
لا يمكن إجراء عملية الضرب بسبب عدم توافر الشرط.
- قيمة A * B
حيث أن A13 * B31 يكون شرط الضرب متوفر وهو أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية:
- قيمة B31 * A13 يكون شرط الضرب متوفر حيث أن عدد أعمدة الأولى يساوي صفوف الثانية:
وحيث أن قيمة A*B = عنصر واحد، وقيمة A*B = مصفوفة مربعة
فإنه يمكن القول أنAB لا تساوي BA.
