العزم الدوراني (The Torque)

عندما تؤثر قوة (F) على جسم صلب له محور ثابت فسوف يدور الجسم حول هذا المحور. ويمثل ميل القوة لتدوير الجسم بالعزم الدوراني، انظر الشكل (1-1)، حيث يتضح أن القوة المؤثرة على الجسم F يمكن تحليلها إلى مركبتين ، واحدة عمودية على المستقيم r، والثانية موازية له، وكما يلي:

ويعرف العزم الدوراني على أنه حاصل ضرب مركبة القوة العمودية على محور الدوران في المسافة بين المركبة العمودية إلى نقطة التثبيت وكما يلي:

الشكل ((1-1

ويمكن أن نستنتج ببساطة من الشكل أن (sin θ = d/r)،إذاً:

حيث d تمثل المسافة العمودية بين نقطة التثبيت (O) والخط الوهمي لتأثير القوة F التي تحاول تدوير الجسم. ولقد تم الاتفاق على أن يكون العزم الدوراني موجباً (+)τ إذا دار الجسم عكس حركة عقرب الساعة، ويكون سالباً (-)τ إذا دار الجسم مع حركة عقرب الساعة.

الشكل (1-2)

الشكل (1-2) يمثل قوتان تحاولان تدوير جسم صلب حول نقطة (O)، حيث القوة F₁ تحاول تدويره عكس حركة عقارب الساعة، والقوة F₂ تحاول تدويره باتجاه حركة عقارب الساعة. وحيث أن كلاً من القوتين تمتلك عزماً دورانياً هو:

وبذلك تكون محصلة العزم الدوراني تساوي المجموع الجبري لعزوم القوى المؤثرة على الجسم كما يلي:

وحيث أن القوة والإزاحة هي كميات متجهة، لذا فإن العزم كمتجه يمثل حاصل ضرب تقاطعي لمتجهتين (The Cross Product of Two Vectors) هما: متجه القوة ومتجه الإزاحة، حيث يمكن الاستفادة من خاصية ضرب المتجهات التقاطعي لإيجاد العزم المتجه في حالة أن القوة والإزاحة تعرف بدلالة المتجهات الأحادية (The Unit Vectors). ومن المعلوم أن حاصل ضرب متجهين تقاطعياً يساوي متجه ثالث له قيمة وله اتجاه، حيث أن ناتج ضرب المتجه A بالمتجه B تقاطعياً هو متجه ثالث يمثله المتجه C وكما يلي:

 B = C× A

حيث المتجه C له قيمة تساوي:

 C = A×B=AB sinθ

فإذا عرف المتجهين بدلالة المتجهات الأحادية، يمكن إيجاد قيمة المتجه A والمتجه B، ومن معرفة الزاوية θ المحصورة بين المتجهين، يمكن إيجاد قيمة المتجه C لقيمة واتجاه فيمكن إيجاده طريقة ضرب المصفوفات (Matrixes) خاصة عندما لا تكون الزاوية بينهما المتجهين معلومة وذلك كما يلي:

إذا افترضنا أن المتجه الأول يساوي A = A_xi + A_yj + A_zk والمتجه الثاني يساوي B = B_xi + B_yj + B_zk ، فإن حاصل ضرب المتجهين تقاطعياً بطريقة المصفوفات يساوي المتجه C الذي يمكن إيجاده كما يلي:

وإذا كان المتجه C يمثل متجه العزم الدوراني للجسم الذي مر قيمة واتجاه، وذلك طبعاً بعد الاستفادة من خواص الضرب التقاطعي للمتجهات الأحادية حيث:

1) يكون حاصل ضرب المتجهات الأحادية كما يلي:

2) A×B  = -B×A

3) إذا كان A يوازي B ( أي أن θ = 180^o or  θ= 0^o) ، فإن B = 0×A حيث Sin θ = 0^o.

4) إذا كان A عمودياً على B، فإن (θ = 90^o)، فإن B = AB×A حيث sin 90^o = 1.

5) يمكن القول أن: C×A+B×A = (B+C)×A

6) مشتقة ضرب متجهين تساوي: