الرنين الكهربائي في دوائر LRC المتصلة على التوالي

سننظر في حالة دائرة لا تحتوي إلا على مكثف C ومحاثة L، كالمبينة في الشكل ((1. على ان هذا ليس موقفاً واقعياً، لأن أي ملف محاثة لابد وأن يتضمن ــ بشكل عام ــ بعض المقاومة. وعلى الرغم من هذا فيمثل هذه الدائرة المثالية يمكن أن نتعلم منها الكثير. إذا وضعت R = 0 فإن المعادلة الخاصة بالمعاوقة تؤول على:

Z = |X_L – X_C| 

وقد استعملنا هنا الخطين الرأسين الدالين على القيمة المطلقة، لأن المعاوقة السالبة ليس لها مدلول فيزيائي. والتيار المار في هذه الدائرة هو:

شكل ((1 : عند تغير تردد الجهد فإن كلاً من X_L و X_C تتغير.

يلاحظ أنه عندما تكون X_L = X_C فإن التيار يصبح لا نهائياً.

شكل 2)): تتغير كل من X_C ،X_L  وكذا Z للدائرة المبينة في الشكل (1) مع تردد المصدر.

ومن السهل ــ في الواقع ــ الحصول على الشرط X_L – X_C = 0 لأن X_L تزيد بتزايد التردد بينما X_C تتناقص مع زيادة التردد. ويبين الشكل ((2 كيفية تغير هذه المقادير بالنسبة لكل من C و L الواردتين في الشكل ((1. وعندما يصبح التردد f = 4500 Hz فإن المعاوقة تصير صفراً في هذه الحالة. ويطلق على التردد الذي تصير عنده X_L = X_C اسم تردد الرنين للدائرة، وسنرمز له بالرمزf₀ وبما أن X_L = 2πf L و X_C = 1/2πf C فإنا لرنين يحدث عندما.

ومنها نستنتج قيمة تردد الرنين:

(1)                        

شكل 3)) : عندما يتغير تردد المصدر المبين في الشكل (1)، فإن التيار المار في الدائرة بسلك كما هو مبين بالشكل.

ويوضح الشكل (3) كيف يتغير التيار في الدائرة المبينة في الشكل (1) مع تغير تردد الجهد المتردد. ( من الطبيعي أنه لابد لسعة الجهد أن تحفظ ثابتة عند كل الترددات). وكما نلاحظ فإن التيار يصل إلى قيمة حادة عند تردد الرنين. على أنه في الدوائر العملية تكون القمة محددة وليست لا نهائية وذلك لأن جميع الأسلاك لابد وأن تحتوي على بعض المقاومة.

دعنا الآن نطبق هذه النتيجة على دائرة LRC، تعطى معاوقتها بالمعادلة 1)) عند الرنين يلغى X_C و X_L أحدهما الآخر بحيث تظل Z = R. ويعنى هذا أيضاً أن cos ϕ =1 وأن يكون الفقد في القدرة = IV. وعليه نرى ان:

عند تردد الرنين تسلك دائرة LRC كما لو كانت دائرة بها مقاومة نقية فحسب.

ونستطيع فهم الرنين الكهربائي بشكل أفضل إذا أدركنا أنه يشبه إلى حد بعيد الرنين الميكانيكي. وتعلم بالفعل ان النظم الميكانيكية لها دائماً تردد طبيعي تهتز عنده. وإذا دفع النظام بهذا التردد فإنه يهتز بأقصى سعة ممكنة، وبعبارة أخرى فإن النظام يصل إلى حالة الرنين. ولدائرة LC البسيطة تردد طبيعي تهتز عنده أيضاً. وسنقوم الآن باستكشاف أوجه الشبه بين الرنين في النظامين الكهربائي والميكانيكي. قارن بين دائرة LC والطفل الجالس على الأرجوحة في الشكل 4)). افترض إنه عند لحظة البداية كان التيار في الدائرة صفراً بينما كانت الأرجوحة عند أعلى موقع لها. إذا كانت الشحنة

  شكل ((4: مثلما تتذبذب طاقة الأرجوحة بشكل دائم بين طاقتي الوضع والحركة فإن طاقة الدائرة تختزن بالتبادل في المكثف وملف المحاثة.

على المكثف هي q₀ فإن الطاقة المختزنة بالمكثف ستكون q²₀/c))½ وبالمثل فإنه سيكون للأرجوحة طاقة وضع تثاقلية بسبب الجاذبية.

ونعلم أن المكثف سيبدأ في التفريغ في حالة النظام الكهربائي خلال ملف المحاثة. وسينمو التيار ببطء ملحوظ لأن ملف المحاثة يعارض أي تغير في التيار. وبالمثل تبدأ الأرجوحة في اكتساب السرعة كلما تغلبت قوى التسارع المؤثرة عليها على قصورها الذاتي. أي أن كلا من الأرجوحة والمكثف تفقد طاقة الوضع الخاصة بها. وعندما تصل الأرجوحة إلى قاع مسارها، فإن كل ما لديها من طاقة وضع يتحول إلى طاقة حركة. وإذا نقلنا التشابه إلى الدائرة فإنه عندما يفقد المكثف كل شحنته فإن التيار المار في الدائرة يكون قد وصل إلى أقصى قيمة وتصبح الطاقة الأصلية مختزنة الآن في ملف المحاثة ومقدارها Li²/2)) ويمثل الشكل (4 جـ) لقد أصبحت كل طاقتها الآن وضعية مرة اخرى. ويحدث الشيء نفسه تماماً في الدائرة الكهربية. فالمحاثة ــ بما لديها من قصور ذاتي من نوع خاص ــ ستعارض أي تغير في التيار ولهذا لا يتوقف التيار دفعة واحدة. ومع مرور الوقت يتوقف التيار في النهاية ويتم شحن المكثف تماماً من جديد كما في الجزء (4 جـ) وتتكرر هذه العمليات مراراً وتكراراً.

إن الدائرة الكهربية تمر بعمليات تبادل للطاقة مثلما يحدث في حال الطفل والأرجوحة. فتتراوح طاقة الأرجوحة بين وضعيه وحركية اما الطاقة في الدائرة الكهربية فهي تارة تختزن في المكثف وأخرى في ملف المحاثة. ويظل كلا النظامين يتذبذبان إلى الأبد جيئة وذهاباً مالم يكن هناك فقد للطاقة. ففي حالة الأرجوحة، يتسبب الفقد نتيجة الاحتكاك في تخميد الذبذبات في نهاية الأمر فتأخذ سعة الذبذبات في الاضمحلال ببطء.

بل يمكننا أيضاً تتبع المزيد من التماثل بين النظامين. إن لكل من الأرجوحة والدائرة ترددات رنين طبيعة تميز حركتها. إن نظام الأرجوحة يمثل بندولاً، وقد حسبنا التردد الطبيعي لذبذباته. وتردد الرنين الطبيعي للدائرة هو التردد الرنيني الذي حسبناه بالمعادلة 1)).