الاستمرارية: continuity

نقول عن الدالة f إنها مستمرة عند النقطة a ، إذا كان : f(a) موجودة وأيضاً في النهاية موجودة من الجهتين ، وأن : ونقول عن الدالة ب إنها مستمرة على المجال (Continuity On An Interval) ، إذا كانت مستمرة في كل نقطة من هذا المجال. والمجالات المستهدفة في هذا الكتاب هي من أحد الأانواع التالية : (a,b) ، [a,b] ، (a,b] ، [a,b) . أو أجزائها.

مثال (1) : ببساطة يمكن التأكد أن الدالة الثابتة f(x) = C هي مستمرة على طول الأعداد الحقيقية R.

مثال (2) : يمكن التأكد ان الدالة الخطية هي مستمرة على طول الأعداد الحقيقية R.

 F(x) = x.

مثال (3) : إذا كانت الدالة f مستمرة عند x = a ، فإن كلاً من f + g ، و f – g وهي مستمرة عند x = a . وأيضاً يمكن أن نتأكد في الحالة . أن الدالة f/g مستمرة عند x = a.

نظرية :

1- إذا كانت وأن الدالة f مستمرة عند L ، فإن :

2- إذا كانت الدالة f مستمرة عند x = a ، وكانت الدالة f مستمرة عند g(a)  ، فإن الدالة    f ο g   مستمرة، وأن :

البرهان : يمكن الاستعانة بالتمثيل البياني التالي من اجل التوضيح:

وتترك الحالة الثانية كتمرين لك.