المرجع الألكتروني للمعلوماتية
القرآن الكريم وعلومه
العقائد الإسلامية
الفقه وأصوله 
الرجال والحديث 
سيرة الرسول وآله 
علوم اللغة العربية 
الأدب العربي 
الأسرة والمجتمع 
الأخلاق والأدعية 
التاريخ 
الادارة والاقتصاد 
علم الفيزياء 
علم الكيمياء 
علم الأحياء 
الرياضيات 
الهندسة المدنية 
الزراعة 
الجغرافية 
القانون 
اللغة الأنكليزية 
الأخبار 
الإعلام 
مكتبة الصور 
أقلام بمختلف الألوان 
إضاءات
مفتاح
أجوبة الإستفتاءات الشرعية
وثائقيات
تاريخ الرياضيات
الرياضيات في الحضارات المختلفة
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات | Lehmer Cotangent Expansion |
 1013
 04:02 مساءً
date: 13-10-2019 |
Author : Lehmer, D. H 
Book or Source : "A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4 
Page and Part : ...|
Read More
Date: 29-9-2018
1268
Date: 10-6-2019
1131
Date: 25-3-2019
2625
|
Lehmer (1938) showed that every positive irrational number 
has a unique infinite continued cotangent representation of the form
![x=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)b_k],](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LehmerCotangentExpansion/NumberedEquation1.gif) |
(1) |
where the 
s are nonnegative and
 |
(2) |
Note that this growth condition on coefficients is essential for the uniqueness of Lehmer expansion.
The following table summarizes the coefficients 
for various special constants.
 |
OEIS |  |
| e | A002668 | 2, 8, 75, 8949, 119646723, 15849841722437093, ... |
Euler-Mascheroni constant  |
A081782 | 0, 1, 3, 16, 389, 479403, 590817544217, ... |
golden ratio  |
A006267 | 1, 4, 76, 439204, 84722519070079276, ... |
Lehmer's constant  |
A002065 | 0, 1, 3, 13, 183, 33673, ... |
 |
A002667 | 3, 73, 8599, 400091364,371853741549033970, ... |
Pythagoras's constant  |
A002666 | 1, 5, 36, 3406, 14694817,727050997716715, ... |
The expansion for the golden ratio 
has the beautiful closed form
![phi=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)(L_(3^k))],](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LehmerCotangentExpansion/NumberedEquation3.gif) |
(3) |
where 
is a Lucas number.
An illustration of a different cotangent expansion for 
that is not a Lehmer expansion because its coefficients grow too slowly is
![phi=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)(F_(2k+2))],](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LehmerCotangentExpansion/NumberedEquation4.gif) |
(4) |
where 
is a Fibonacci number (B. Cloitre, pers. comm., Sep. 22, 2005).
REFERENCES:
Lehmer, D. H. "A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4, 323-340, 1938.
Rivoal, T. "Propriétés diophantiennes du développement en cotangente continue de Lehmer." http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal/articles/cotan.pdf.
Shallit, J. "Predictable Regular Continued Cotangent Expansions." J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. B 80B, 285-290, 1976.
Sloane, N. J. A. Sequences A002065/M2961, A002666/M3983, A002668/M1900, A002667/M3171, A006267/M3699, and A081782 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
|
|
|
|
دراسة: عدم ترتيب الغرفة قد يدل على مشاكل نفسية
|
|
|
|
|
|
|
علماء: تغير المناخ تسبب في ارتفاع الحرارة خلال موسم الحج
|
|
|
|
|
|
|
جهود مكثفة وطباعة عشرات الآلاف من المنشورات .. استعدادات العتبة العلوية المقدسة لعيد الغدير الأغر
|
|
|
