ضرب المتجهات Vector Product

عند ضرب متجه مثل (A) في عدد معين ، فانه ينتج لدينا متجه جديد له اتجاه (A) ومقداره يساوي مقدار (A) مضروبا في العدد , فمثلا المتجه :

(1)…………………..      B=5 A       

يعني هذا أن المتجه B يكون في اتجاه (A) ، لكن مقداره يساوي خمسة أمثال مقدار (A) بالإضافة إلى هذا النوع من الضرب ، فإن هناك نوعين آخرين من الضرب لهما فائدة كبيرة ، واستخدامات جمة في علم الفيزياء والميكانيك والكهرباء وغيرها . وهما ، الضرب العددي Scalar))  والضرب الاتجاهي Vector)) ونعرض في ما يأتي شرحا لكل منهما :

1-1 الضرب العددي : Scalar Product

ويقال له أحيانا الضرب القياسي أو النقطي (Dot Product) أو الداخلي (Inner Product) . لكن جميعها تشير إلى شيء واحد ، وهو أن ضرب أي متجهين ضربا عدديا يعطينا في النتيجة كمية عددية ليس لها اتجاه . فمثلا ضرب القوة (كمية متجهة) في الإزاحة (كمية متجهة) يعطينا الشغل ، وهو كمية عددية , إذن نضرب القوة في الإزاحة ضربا نقطياً ليعطينا الشغل .

الضرب العددي بين متجهين يعني ضرب مقدار أحدهما في المسقط العمودي للمتجه الآخر عليه .

ويميز الضرب القياسي بوضع نقطة بين المتجهين المضروبين ، مثل B ، A وتلفظ (A dot B) أو (B نقطة A) ، وأحيانا تلفظ (A) تداخل (B) , ولإيجاد ناتج الضرب ، فإننا نضرب مقدار المتجه الأول في مقدار المتجه الثاني في جيب تمام الزاوية بينهما (الزاوية الصغرى بينهما) ، وذلك حسب العلاقة :

(2) ……………             R= A.B = ABcos0

والشكل (1) يوضح معنى الضرب الداخلي (العددي) ، حيث يبين ان (Acosθ) هي المسقط العمودي للمتجه (A) على اتجاه المتجه (B) ، وأن (Acosθ) هي المسقط العمودي للمتجه (B) على اتجاه المتجه (A) . وهذا يعني أن الضرب العددي للمتجهين يعني مقدار أحدهما مضروبا في مسقط الآخر عليه .

فإذا كان المتجهان متعامدين ، فإن cos 90° = zero وعليه فإن :

A.B = zero (لان A ⊥ B)

وهو شرط تعامد أي متجهين .

وفي حالة توازي المتجهين ، فإن = 1° θ​ Cosوعليه ، فإن :

A.B = AB (لأن B//A)

ومن تعريف الضرب العددي يتبين لنا ان هذا النوع من الضرب قابل للتبديل ، أي أن :

(3)………..        A . B = B.A

وذلك لان النتيجة في الحالتين هي عددية ليس لها اتجاه . وكذلك من السهل علينا أن نتبين من خلال الربط بين مفهوم المسقط العمودي والضرب العددي أن هذا الضرب هو أيضا قابل للتوزيع على الجمع ، أي أن :

(4) …………. A. (B+C) = A.B+A.C

وباستخدام هذه القابلية ، وتعريف الضرب العددي ، يمكن إثبات قانون جيب التمام  .

 1-2 الضرب الاتجاهي  Vector Product

ويسمى أيضا بالضرب التقاطعي Cross product ، ويكتب بوضع إشارة " x " بين المتجهين مثل A × B وتلفظ A تقاطع B ويختلف الضرب الاتجاهي عن الضرب القياسي في أن حاصل الضرب يكون متجها جديدا ، كما هو واضح من التسمية ، إذن :

A × B = R             .................. (5)

لاحظ هنا أن R هي كمية متجهة ، لكن R في الضرب العددي (المعادلة 1) هي كمية عددية . ولذلك عندما يطلب إلينا إيجاد حاصل الضرب التقاطعي لمتجهين ، وجب علينا إيجاد قيمة (مقدار حاصل الضرب ، ومن ثم تعيين اتجاه المتجه الذي يمثل حاصل الضرب التقاطعي للمتجهين . ونجد مقدار المتجه (R) بالعلاقة :

(6) ………………             R= AB sin 0

حيث (0) هي الزاوية الصغرى المحصورة بين المتجهين A ، B أما اتجاه R فيكون دائما متعامدا مع كل من المتجهين A ، B عند نقطة التقائهما ، أو بعبارة أخرى عمودياً على المستوى الذي يجمع المتجهين . ويكون اتجاهه باتجاه حركة البرغي عندما يتم إدارته من A إلى B عبر الزاوية الصغرى بينهما . أو يمكن إيجاد اتجاهه بتطبيق قاعدة قبضة اليد اليمنى : إذ تحرك الأصابع الأربعة للكف اليمنى باتجاه من A إلى B عبر الزاوية الصغرى ، فيكون اتجاه A × B حسب الاتجاه الذي يشير إليه الإبهام ، كما في الشكل (2) .

الشكل (2)

أ- التمثيل الهندسي للضرب الاتجاهي . وناتج ضرب أي متجهين يكون متجها اتجاهه يحدد بقاعدة قبضة اليد اليمنى أو باتجاه حركة البرغي .

ب- مقدار ناتج الضرب الاتجاهي لمتجهين يساوي مساحة متوازي الأضلاع المكون منهما .

ويظهر من الشكل (2- ب) أن مقدار ناتج الضرب التقاطعي للمتجهين B , A يساوي مساحة متوازي الأضلاع المكون منهما ؛ لأن :

Bsin0)) A = B × A (من حيث المقدار)

حيث (A) تمثل قاعدة متوازي الأضلاع و Bsin0)) تمثل ارتفاع متوازي الأضلاع .

ولما كان اتجاه حاصل الضرب التقاطعي يحدد بقاعدة البرغي ، إذن يتضح لنا أن تبديل موقعي المتجهين يعكس إشارة أو اتجاه حاصل الضرب التقاطعي : أي أن :

والعلاقة الصحيحة بينهما هي :

ولذلك فإن الضرب الاتجاهي غير قابل للتبديل " Anticommutative " وبالنظر إلى العلاقة بين الضرب الاتجاهي لمتجهين ومساحة ومتوازي الأضلاع المكون منهما ؛ فإنه يمكن إثبات أن الضرب الاتجاهي قابل للتوزيع  " Destributive Over Addition "

واذا كان المتجهان A,B متوازيين ، فإن الزاوية بينهما تساوي صفرا ، وجيب الزاوية صفر يساوي صفرا ، إذن في حالة التوازي يكون

ولذلك فإن شرط توازي متجهين هو أن يكون ناتج الضرب الاتجاهي لهما يساوي صفرا .