جهد و تيار شحن مكثف في دائرة تحتوي على مقاومة و مكثف

نفرض لدينا مقاومة و مكثف متصلين على التوالي مع مصدر جهد مستمر كما بالشكل الآتي. و نفرض أن الدائرة كانت مفتوحة ثم أغلقت عند اللحظة الزمنية t =0  و المطلوب معرفة كيفية تغير التيار و الجهد مع الزمن عند غلق الدائرة.

و بتطبيق قانون كيرشوف على هذه الدائرة نجد أن

 (1)

حيث أن E  هو جهد البطارية و V_R  فرق الجهد على المقاومةV_C   فرق الجهد على المكثف.

و من المعروف لدينا أن

حيث أنI   شدة التيار المار في الدائرة، Q  شحنة المكثف ،C  سعة المكثف. و بذلك تأخذ المعادلة (1) الصورة

 (2)

و بتفاضل طرفي هذه المعادلة بالنسبة للزمن نحصل على

 (3)

و من تعريفنا السابق للتيار نجد أن

dQ/ dt = I

و بالتعويض في المعادلة (3) نحصل على

 (4)

و بتكامل المعادلة (4) نحصل على

 (5)

حيث  K   ثابت التكامل، و لإيجاد هذا الثابت فانه عندما

و بالتعويض في المعادلة (5) ، يمكننا الحصول على قيمة الثابت

ln (I₀) = K

و بذلك تأخذ المعادلة (5) الصورة

 (6)

و تبين هذه المعادلة كيفية تغير التيار المار في الدائرة.

و لمعرفة تغير فرق الجهد يجب علينا إيجاد هذا التغير لكل عنصر من عناصر الدائرة.

فرق الجهد بين طرفي المقاومة

 (7)

أما فرق الجهد بين طرفي المكثف فيمكن إيجاده من المعادلة (1)

 (8)

من المعادلات (6) ، (7) ، (8) يمكننا الحصول على المنحنيين السابقين ، و هما عن كيفية تغير الجهد و التيار مع الزمن. و من هذا الرسم يتضح أن

1-   عند اللحظة  t = 0  أي عند لحظة قفل الدائرة يصل التيار الي أقصى قيمة له I₀  أي يساوي E/R   و بذلك يكون فرق جهد البطارية واقع على المقاومة فقط.

2-   بزيادة الزمن يبدأ المكثف في الشحن و يبدأ تيار الدائرة في الانخفاض و بذلك ينخفض فرق الجهد الواقع على المقاومة بينما يزداد فرق الجهد على المكثف إلي أن تصل قيمة التيار صفرا و بذلك يصل فرق الجهد على المقاومة الي الصفر أيضا بينما يصل فرق الجهد على المكثف الي أقصى قيمة له وهو فرق جهد البطارية E.

يسمى الثابت R C الثابت الزمنى وله نفس وحدات الزمن ( حيث أن الدالة الأسية ليس لها وحدات). و يعرف الثابت الزمنى بأنه الزمن اللازم لكى تنخفض فيه قيمة التيار الي 1/e من قيمته القصوى.

فعندما يكون الثابت الزمنى صغيرا يتم شحن أو تفريغ المكثف بسرعة والعكس يحدث عندما يكون الثابت الزمنى كبيرا فانه يتم شحن أو تفريغ المكثف ببطئ.