الموجات التضاغطية المستقرة على زنبرك

هناك سمات مشتركة كثيرة بين الموجة الطويلة على زنبرك والموجة المستعرضة على وتر. فإذا أرسلت موجة طويلة لتتحرك على زنبرك فإن الموجة وطاقتها تنعكسان دائماً عند وصول الموجة إلى طرف الزنبرك ، وهذه الموجة المنعكسة يمكنها أن تتداخل مع الموجبات التي يرسلها المصدر في لحظات تالية. فإذا تحققت العلاقة المناسبة بين تردد المصدر ومختلف ثوابت الزنبرك سوف يحدث الرنين .

كما في حالة رنين الأوتار ، توجد دائماً عقدة بالقرب من المصدر الحافز في نظام الزنبرك لأن الزنبرك يتحرك في حالة الرنين حركة أكبر كثيراً من المصدر. وأيضاً إذا كان الطرف الآخر للزنبرك مثبتاً تثبيتاً جيداً يمنعه من الحركة ، فإن هذا الطرف سيكون عقدة كذلك ؛ وتمثل الحركة الرنينية للزنبرك عندئذ بالمنحنيات الموضحة بالشكل 1)). تذكر أن هذه المنحنيات لا توضح الشكل الحقيقي للموجة الطولية على الزنبرك. (وعلى العكس من ذلك ، توضح هذه المنحنيات بالفعل الشكل الموجي الحقيقي في حالة الموجات المستعرضة). ولكنها توضح إزاحة كل نفطة على الزنبرك عن موضع اتزانها ، ومن الواضح أن هذه الإزاحات في اتجاه المحور x تتغير تغيراً جيبياً مع x.

وتوجد العقد عند تلك النقط التي تتلاشى فيها الموجة المتحركة إلى اليمين مع الموجة المتحركة إلى اليسار ، تاركتين الزنبرك بدون انضغاط او امتداد. وتتحقق شروط  حدوث الموجة المستقرة عندما يكون طول الزنبرك مساوياً أضعافاً صحيحة قدر المسافة بين عقدتين متتاليتين. وعليه فإن شرط الرنين في حالة الموجبات الطولية على زنبرك مثبت عند طرفيه هو نفس شرط الرنين في حالة الموجبات المستعرضة:

حيثn = 1,2,3 , …… . وباستخدام هذه العلاقة جنباً إلى جنب مع العلاقة بين الطول الموجي والتردد ،  = v/fλ ، يمكننا ان نرى مباشرة ان الترددات الرنينية للزنبرك (أي الترددات التوافقية ) تكون كالتالي:

حيث = 1,2,3, ……..n .