الفضاء الاقليدي النوني:

تعريف (1-1):

ليكن n عدداً صحيحاً موجباً . المرتبة فئة n من الأعداد الحقيقية (a₁, a₂, … , a_n). مجموعة المرتبات فئة n تسمى الفضاء النوني ويرمز له R^m.

عندما n يساوي 2 أو 3 فإننا نطلق التعبير الزوج المرتب أو الثلاثي المرتب بدلاً من المرتب فئة 2 والمرتب فئة 3. من خلال دراستنا للفصل السابق لاحظنا أن الرمز (a₁, a₂, a₃) له تفسيرات هندسية أما يمثل نقطة أحداثياتها a₁ و a₂ و a₃ أو انه متجه مركباته a₁ و a₂ و a₃ لذا من الممكن اعتبار المرتب فئة n (a₁, a₂, … , a_n), على أنه تعميم للنقطة أو تعميم للمتجه (شكل 1-1).

                                                                       شكل ((1-1

تعريف (1-2):

(1) المتجهان v = (v₁, v₂, … , v_n)  و  u = (u₁, u₂, …, u_n) في "R متساويان، إذا كانت مركباتهما المتناظرة متساوية، أي:

(2) جمع المتجهات v و u، يكتب v + u، هو متجه مركباته عبارة عن جمع مركبات v و u المتناظرة. أي:

 (3)ضرب المتجه v بكمية ثابتة k، يكتب kv، هو متجه مركباته هي مركبات v مضروبة في k، أي:

المتجه الصفري في R" يكتب 0 ويعرف (0 = (0, 0, … , 0، إذا كان                 R"V(v₁, v₂, …,v_n) فإن (-v) هو متجه، يقال له المعكوس الجمعي للمجتهv، ويعرف:

مبرهنة (1-3):

إذا V(v₁, v₂, …,v_n)  و u = (u₁, u₂, …, u_n)  و w = (w₁, w₂, … , w_n) متجهاً في "R.I, k كميات ثابتة، فإن:

ملاحظة:

بموجب مبرهنة (1-3) يمكن التعامل بالمتجهات من دون استخدام مركباتها، فمثلاً لحل المعادلة x + u = v نضيف النظير –u.

للطرفين:

تعريف (1-4)

لتكن V(v₁, v₂, …,v_n)  و  u = (u₁, u₂, …, u_n) متجهان في R". الضرب الداخلي الاقليدي (الضرب النقطي)، يكتب v.u، يعرف:

مثال(1):

لتكن v = (-1,2,3,1)  و  u = (0,1,2,4) متجهات في R⁴ فإن:

مبرهنة (1-5):

لتكن v و u و w في Rⁿ  و k ثابت فإن:

البرهان:

نبرهن 2 و 4.

المساواة في الصيغة هذه تكون صحيحة إذا وفقط إذا v₁ = v₂ = … = 0  إذا وفقط v = 0

تعريف (1-6):

مثال(2): نفرض v = (3,2,1,5) و u = (0,1,-1,3) في R". اوجد طول u والمسافة بينهما.

ملاحظة:

يمكن تمثيل المتجه  v = (v₁, v₂, … , v_n)في R" بشكل مصفوفة صف أو مصفوفة عمود:

مثال (3):

مبرهنة (1-7): (متباينة كوجي ــ شفارتز): لتكن v = (v₁, v₂, … , v_n) و                          u = (u₁, u₂, …,  u_n)، فإن:

البرهان:

(نبرهن الحالة الخاصة عندما v و u في R² أما الحالة العامة فسوف نناقشها في المواضيع القادمة).

مبرهنة (1-8):

لتكن v و u متهات في R" و k كمية ثابتة، فإن:

                   شكل(1-2)

البرهان:

نبرهن الصيغتين (3) و (4)

(4) من شكل (1-2) ( b).

عليه، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

بقية الصيغ نبرهن بنفس الطريقة.

مبرهنة (1-9):

لتكن v و u و w في R" ، k كمية ثابتة، فإن:

البرهان ستثبت المتباينة (رقم 4). اما الصيغ الثلاث الأخرى، فتترك كتمارين.

بموجب (2) والمبرهنة (1-8) يكون لدينا:

مبرهنة (1-10):

إذا كانت v و ع متجهات في R". فإن:

البرهان:

لما كان:

تعريف (1-11):

يقال للمجتهدين  v و u في R" بأنهما متعامدان  إذا:

                                                                   v.u = 0      

مبرهنة (1-12) (فيثاغورس):

إذا تعامد المتجهات v و u في R" فإن

(لأن v و u متعامدان).

مثال(4):

لتكن v و u كما في المثال 3 فإن:

مثال (5):

عليه فإن v و u متعامدان.

مثال(6):

ملاحظة:

الضرب النقطي يساعدنا في تعريف طريقة جديدة لضرب المصفوفات، فمثلاً إذا كانت متجهات صفوف A

 هي r_n ……, r₂,r₁ ومتجهات أعمدة B هي c_n, … c₂, c₁ فإن ضرب المصفوفات AB:

عليه ، فالنظام الخطي AX = B يمكن كتابته بصيغة الضرب النقطي:

إذ أن r_n, …. , r₂, r₁ متجهات صفوف A و b_n, … b₂, b₁ عناصر B.

مثال(7)

اكتب النظام الآتي بشكل ضرب نقطي:

الحل:

بموجب الشكل (1-2):