المصفوفات البسيطة، طريقة إيجاد معكوس المصفوفة A^-1:

سوف نستعرض في هذا البند تنسيقاً بسيطاً لإيجاد معكوس المصفوفة ونناقش بعض الخواص الأساسية للمصفوفات القابلة للانعكاس.

تعريف (1-1):

تمسى المصفوفة المربعة A مصفوفة بسيط إذا أمكن إيجادها من المصفوفة المحايدة I_n باستخدام عملية صف بسيطة واحدة.

مثال (1):

عند ضرب مصفوفة A  من جهة اليسار بمصفوفة أولية مثل E، فإن تأثير ذلك يكون معادلة لإجراء عملية صفية على A.

مثال (2):

مصفوفة بسيطة حصلنا عليها من ضرب الصف الأول في 3 وإضافة حاصل الضرب إلى الصف الثالث من المصفوفة I₃.

إذن:

وهذا الشكل معادل للمصفوفة الناتجة من إضافة 3 أضعاف الصف الأول في A إلى الصف الثالث فيها.

ملاحظة:

إذا أثرت عملي صف بسيطة E على المصفوفة المحايدة I_n للحصول على مصفوفة بسيطة، فإنه توجد عملية صف ثانية إذا أثرت على E ستعيدها إلى I_n.

مثال (3):

نفرض أن E مصفوفة ناتجة من ضرب الصف رقم i في المصفوفة I_n بالثابت غير الصفري k.

وإذا ضربنا الصف رقم i من المصفوفة E بالثابت 1/k فإننا سنحصل على المصفوفة I_n، العمليات التي تعيد E إلى  I_n تسمى العمليات العكسية.

مبرهنة (1-2):

كل مصفوفة بسيطة قابلة للانعكاس وكذلك المعكوس مصفوفة بسيطة.

البرهان:

لتكن E مصفوفة بسيطة ناتجة عن تأثير عملية صفية بسيطة على I_n. أفرض أن E' مصفوفة ناتجة من تأثير معكوس هذه العملية على I_n، وبموجب الملاحظة أعلاه وحقيقة أن عمليات الصف العكسية تزيل تأثير أحدهما للأخرى فإن:

لذا فالمصفوفة البسيطة E' هي معكوس E.

مبرهنة (1-3):

لتكن A مصفوفة سعتها n x n، فإن الصيغ الآتية متكافئة، أي، إما جميعها صحيحة أو جميعاً خاطئة.

1. A قابلة للانعكاس.

2. AX = 0 لها حل وحيد هو الحل الصفري.

3. الصيغة المدرجة الصفية المختزلة للمصفوفة A هي المصفوفة I_n.

4. يعبر عن A كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة.

البرهان:

1←2 : نفرض أن A قابلة للانعكاس وأن X' هو حل للنظام المتجانس AX = 0. لذا فإن     AX' = 0. لذا فإن AX'= 0.

 A قابلة للانعكاس فإن A^-1، معكوس A، موجود . بضرب AX' = 0 بالمصفوفة A^-1 من جهة اليسار نحصل على

إذن X' = 0. نستنتج من ذلك أن الحل الوحيد هو الحل الصفري.

2←3 : نفرض أن AX = 0 هو الشكل المصفوفي للنظام الخطي:

افرض أن حل هذه النظام هو الحل الصفري. إذا استخدمنا طريقة اختزال كاوس ــ جوردان فإن المعادلات المقابل للشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة الممتدة سيكون:

وبتطبيق عمليات الصف البسيطة على المصفوفة الممتدة للمعادلات الخطية (1) سنحصل على المصفوفة الممتدة:

وهذا يعني أن الصيغة المدرجة الصفية المختزنة للمصفوفة A هي I_n.

3←4 : نفرض أن الصيغة المدرجة الصفية المختزلة للمصفوفة A هو I_n.

نضرب A من جهة اليسار بسلسلة من عمليات الصف البسيطة فتتحول A إلى I_n.

3)     .......................................E₁E₂…E_nA=I_n

ولما كانت E₁ ، E₂ ، ..... ، E_n قابلة للانعكاس، وبضرب طرفي المعادلة (3) بالمصفوفات نحصل على:

وبموجب المبرهنة (1-5-2) فإن A يعبر عنها كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة.

4←1 : إذا عبرنا عن A كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة، فإن A هي حاصل ضرب مصفوفات قابلة للانعكاس ومن ذلك نستنتج أن A قابلة للانعكاس [لاحظ مبرهنة (1-4-5) ومبرهنة (1-5-2).

بعكس طرفي الصيغة (3) نحصل على:

هذا يعني أن المصفوفة A نحصل عليها بضرب I_n من اليسار بالمصفوفات البسيطة E_n,….,E₂,E₁

وبمقارنة العلاقتين (3) و (5) يتبين لنا أن سلسلة عمليات الصف التي تحول A إلى I_n ستحول I_n إلى A^-1.

طريقة إيجاد معكوس المصفوفة القابلة للانعكاس:

تتلخص هذه الطريقة بإيجاد عمليات صف بسيطة تحول A إلى I_n ومن ثم استخدام نفس هذه السلسلة نفس هذه السلسلة من العمليات على المصفوفة المحايدة بجوار A للحصول على A^-1. وللقيام بذلك نضع المصفوفة المحايدة على يمين A للحصول على الشكل [A : I_n] ومن ثم إجراء عمليات الصف على هذه المصفوفة حتى يتحول الجانب الأيسر إلى I_n. هذه العمليات ستحول الجانب الأيمن إلى A^-1، وسنحصل على الشكل [I_n : A^-1].

مثال (4):

ملاحظة:

من غير الممكن مسبقاً معرفة فيما إذا كانت A مصفوفة قابلة للانعكاس أم لا. فإذا كانت A غير قابلة للانعكاس فلا يمكن اختزالها إلى I_n بموجب العمليات الصفية البسيطة، بمعنى آخر، أن الشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة A يحتوي على الأقل على صف واحد جميع عناصره أصفار.

مثال (6):

الحل:

باعتماد الطريقة الموضحة في المثالين 4 و 5 نحصل في إحدى خطوات الحل على الشكل الآتي:

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة تشارك بأكثر من 750 إصدارًا في معرض بغداد الدولي للكتاب

تيمنًا بذكرى ولادة الصادقَين (صلوات الله عليهما) شعبة التوجيه النسوي تنظم مسابقة ميدانية لزائرات مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المجمع العلمي ينظّم أنشطةً قرآنية في محافظتي كربلاء والديوانية

العتبة العباسية المقدسة تختتم فعاليات مهرجان رحمة للعالمين الدولي الأوَّل

المزيد

الآخبار الصحية

تحذير من الإفراط في شربها.. متى تصبح الماتشا خطيرة؟

من بناء العضلات إلى "تسميم الجسم".. الوجه الآخر للبروتين ؟

دراسة جديدة: مخ الانسان يغتسل أثناء النوم

هل من الآمن شرب القهوة على معدة فارغة؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

مزايا مرآة الرؤية الخلفية ذاتية التعتيم في السيارات

دراسة.. كوكب غريب أمد الأرض بمقومات الحياة !

يهدد عرش هوليود.. أول فيلم رسوم متحركة بالذكاء الاصطناعي

أكبر تغيير منذ سنوات.. هل تكشف أبل النقاب عن "iPhone Air"؟

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي