التحويلات الخطية العامة
المؤلف:
علي جاسم التميمي
المصدر:
مقدمة في الجبر الخطي
الجزء والصفحة:
381-389
29-2-2016
21810
سبق وان تطرقنا الى التحويلات الخطية من Rnإلى Rm في هذا البند سنتعرف على التحويلات الخطية من الفضاء العام V إلى الفضاء العام W. ولهذا النوع من التحويلات تطبيقات مهمة في مختلف فروع الرياضيات والعلوم التطبيقية كالفيزياء والهندسة وغيرها.
تعريف (1-1):
الدالة T من فضاء المتجهات V إلى فضاء المتجهاتW ، تكتب T:V⟶W، يقال لها تحويلة خطية من v إلى w إذا تحققت الشروط الآتية:
(1) T(v+u)=T(v)+T(u)
(2) T(kv)=kT(v)
لكل u,v∊V ولكل k عدد ثابت.
عندما V = W فإن T تسمى عملية خطية على V.
مثال(1):
التحويلات الخطية التي سبق وان درسناها من Rn إلى Rm هي تحويلات خطية وتحقق الشرطين . هذه التحويلات تسمى تحويلات المصفوفة.
مثال(2):
التطبيق T:V⟶W. المعرف T (v) = 0 لكل v∊V هو تحويلة خطية تسمى التحويلة الصفرية وذلك لأن:
مثال(3)
التطبيق I:V⟶W حيث V فضاء متجهات والمعرف بالشكل I(v) = v لكل v∊V هو تحويلة خطية تسمى العملية الخطية الأحادية وذلك لأن:
مثال(4):
ليكن V فضاء متجهات و k عدد ثابت، فإن الدالة المعرفة بالشكل
T(v) = kv لكل v∊V ، تحويلة خطية لأن
شكل(1-1)
هذه التحويلة تسمى:
1. تمدد عندما K>1
2. انكماش عندما
مثال(5):
ليكن W فضاء جزئي ذات بعد منتهي من فضاء الضرب الداخلي V فإن المسقط العمودي T من V إلى W المعرف بالشكل T(v) = projwv لكل v∊V هو تحويلة خطية لاحظ الشكل (1-1) .
الحل:
نستطيع القول أنه إذا كان
S={w1, w2, …., wk}
أساس عياري متعامد للفضاء W فإن T يمكن تعريفها بالشكل:
هذه الصيغة هي تحويلة خطية لأن:
2. بنفس الطريقة
مثال(6):
لتكن V فضاء متجهات بعدة ى و w1, w2, …, wn} =S } أساس V. خذ v∊V بحيث : k1, k2, …., kn) = (v)s هو متجه إحداثي للمتجه v نسبة لــ S.
لذا فإن 
فإذا عرفت T بالشكل: T:V⟶Rn بحيث:
فإن T تحويلة.
الحل:
نفرض:
مثال(7):
مثال(8):
نفرضR⟶n T:M دالة من مجموعة جميع المصفوفات ذات السعة n x n إلى مجموعة محدداتها والمعرفة:
ملاحظة:
يمكن تعميم شروط التعريف (1-1) بالشكل:
تعريف (1-2):
لتكن 
تحويلات خطية فإن تركيبهما، يكتب T2○T1 هو دالة معرفة بالشكل:
شكل(1-2)
مبرهنة (1-3):
تركيب التحويلات الخطية هو تحويل خطي.
البرهان:
مثال(9):
ملاحظة:
يمكن تعميم تركيب التحويلات لأكثر من تحويلتان [لاحظ الشكل الهندسي (1-3) ].
الاكثر قراءة في الجبر الخطي
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
