سبق  وان تطرقنا الى التحويلات الخطية من Rⁿإلى R^m في هذا البند سنتعرف على التحويلات الخطية من الفضاء العام V إلى الفضاء العام W. ولهذا النوع من التحويلات تطبيقات مهمة في مختلف فروع الرياضيات والعلوم التطبيقية كالفيزياء والهندسة وغيرها.

تعريف (1-1):

الدالة T من فضاء المتجهات V إلى فضاء المتجهاتW ، تكتب T:V⟶W، يقال لها تحويلة خطية من v إلى w إذا تحققت الشروط الآتية:

(1) T(v+u)=T(v)+T(u)

(2) T(kv)=kT(v)

لكل u,v∊V ولكل k عدد ثابت.

عندما V = W فإن T تسمى عملية خطية على V.

مثال(1):

التحويلات الخطية التي سبق وان درسناها من Rⁿ إلى R^m هي تحويلات خطية وتحقق الشرطين . هذه التحويلات تسمى تحويلات المصفوفة.

مثال(2):

التطبيق T:V⟶W. المعرف T (v) = 0 لكل v∊V هو تحويلة خطية تسمى التحويلة الصفرية وذلك لأن:

مثال(3)

التطبيق I:V⟶W حيث V فضاء متجهات والمعرف بالشكل I(v) = v لكل v∊V هو تحويلة خطية تسمى العملية الخطية الأحادية وذلك لأن:

مثال(4):

ليكن V فضاء متجهات و k عدد ثابت، فإن الدالة المعرفة بالشكل

T(v) = kv لكل v∊V ، تحويلة خطية لأن

                                             شكل(1-1)

هذه التحويلة تسمى:

1. تمدد عندما K>1

2. انكماش عندما

مثال(5):

ليكن W فضاء جزئي ذات بعد منتهي من فضاء الضرب الداخلي V فإن المسقط العمودي T من V إلى W المعرف بالشكل T(v) = proj_wv لكل v∊V هو تحويلة خطية لاحظ الشكل (1-1) .

الحل:

نستطيع القول أنه إذا كان

                                                      S={w₁, w₂, …., w_k}

أساس عياري متعامد للفضاء W فإن T يمكن تعريفها بالشكل:

هذه الصيغة هي تحويلة خطية لأن:

2. بنفس الطريقة

مثال(6):

لتكن V فضاء متجهات بعدة ى و w₁, w₂, …, w_n} =S  } أساس V. خذ v∊V بحيث :  k₁, k₂, …., k_n) = (v)_s   هو متجه إحداثي للمتجه v نسبة لــ S.

لذا فإن  

فإذا عرفت T بالشكل: T:V⟶Rⁿ بحيث:

فإن T تحويلة.

الحل:

نفرض:

مثال(7):

مثال(8):

نفرضR⟶_n T:M دالة من مجموعة جميع المصفوفات ذات السعة n x n إلى مجموعة محدداتها والمعرفة:

ملاحظة:

يمكن تعميم شروط التعريف (1-1) بالشكل:

تعريف (1-2):

لتكن  تحويلات خطية فإن تركيبهما، يكتب T₂○T₁ هو دالة معرفة بالشكل:

                                                            شكل(1-2)

مبرهنة (1-3):

تركيب التحويلات الخطية هو تحويل خطي.

البرهان:

مثال(9):

ملاحظة:

يمكن تعميم تركيب التحويلات لأكثر من تحويلتان [لاحظ الشكل الهندسي (1-3) ].                                       

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة تشارك بأكثر من 750 إصدارًا في معرض بغداد الدولي للكتاب

تيمنًا بذكرى ولادة الصادقَين (صلوات الله عليهما) شعبة التوجيه النسوي تنظم مسابقة ميدانية لزائرات مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المجمع العلمي ينظّم أنشطةً قرآنية في محافظتي كربلاء والديوانية

العتبة العباسية المقدسة تختتم فعاليات مهرجان رحمة للعالمين الدولي الأوَّل

المزيد

الآخبار الصحية

تحذير من الإفراط في شربها.. متى تصبح الماتشا خطيرة؟

من بناء العضلات إلى "تسميم الجسم".. الوجه الآخر للبروتين ؟

دراسة جديدة: مخ الانسان يغتسل أثناء النوم

هل من الآمن شرب القهوة على معدة فارغة؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

مزايا مرآة الرؤية الخلفية ذاتية التعتيم في السيارات

دراسة.. كوكب غريب أمد الأرض بمقومات الحياة !

يهدد عرش هوليود.. أول فيلم رسوم متحركة بالذكاء الاصطناعي

أكبر تغيير منذ سنوات.. هل تكشف أبل النقاب عن "iPhone Air"؟

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي