المصفوفات البسيطة، طريقة إيجاد معكوس المصفوفة A^-1:

سوف نستعرض في هذا البند تنسيقاً بسيطاً لإيجاد معكوس المصفوفة ونناقش بعض الخواص الأساسية للمصفوفات القابلة للانعكاس.

تعريف (1-1):

تمسى المصفوفة المربعة A مصفوفة بسيط إذا أمكن إيجادها من المصفوفة المحايدة I_n باستخدام عملية صف بسيطة واحدة.

مثال (1):

عند ضرب مصفوفة A  من جهة اليسار بمصفوفة أولية مثل E، فإن تأثير ذلك يكون معادلة لإجراء عملية صفية على A.

مثال (2):

مصفوفة بسيطة حصلنا عليها من ضرب الصف الأول في 3 وإضافة حاصل الضرب إلى الصف الثالث من المصفوفة I₃.

إذن:

وهذا الشكل معادل للمصفوفة الناتجة من إضافة 3 أضعاف الصف الأول في A إلى الصف الثالث فيها.

ملاحظة:

إذا أثرت عملي صف بسيطة E على المصفوفة المحايدة I_n للحصول على مصفوفة بسيطة، فإنه توجد عملية صف ثانية إذا أثرت على E ستعيدها إلى I_n.

مثال (3):

نفرض أن E مصفوفة ناتجة من ضرب الصف رقم i في المصفوفة I_n بالثابت غير الصفري k.

وإذا ضربنا الصف رقم i من المصفوفة E بالثابت 1/k فإننا سنحصل على المصفوفة I_n، العمليات التي تعيد E إلى  I_n تسمى العمليات العكسية.

مبرهنة (1-2):

كل مصفوفة بسيطة قابلة للانعكاس وكذلك المعكوس مصفوفة بسيطة.

البرهان:

لتكن E مصفوفة بسيطة ناتجة عن تأثير عملية صفية بسيطة على I_n. أفرض أن E' مصفوفة ناتجة من تأثير معكوس هذه العملية على I_n، وبموجب الملاحظة أعلاه وحقيقة أن عمليات الصف العكسية تزيل تأثير أحدهما للأخرى فإن:

لذا فالمصفوفة البسيطة E' هي معكوس E.

مبرهنة (1-3):

لتكن A مصفوفة سعتها n x n، فإن الصيغ الآتية متكافئة، أي، إما جميعها صحيحة أو جميعاً خاطئة.

1. A قابلة للانعكاس.

2. AX = 0 لها حل وحيد هو الحل الصفري.

3. الصيغة المدرجة الصفية المختزلة للمصفوفة A هي المصفوفة I_n.

4. يعبر عن A كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة.

البرهان:

1←2 : نفرض أن A قابلة للانعكاس وأن X' هو حل للنظام المتجانس AX = 0. لذا فإن     AX' = 0. لذا فإن AX'= 0.

 A قابلة للانعكاس فإن A^-1، معكوس A، موجود . بضرب AX' = 0 بالمصفوفة A^-1 من جهة اليسار نحصل على

إذن X' = 0. نستنتج من ذلك أن الحل الوحيد هو الحل الصفري.

2←3 : نفرض أن AX = 0 هو الشكل المصفوفي للنظام الخطي:

افرض أن حل هذه النظام هو الحل الصفري. إذا استخدمنا طريقة اختزال كاوس ــ جوردان فإن المعادلات المقابل للشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة الممتدة سيكون:

وبتطبيق عمليات الصف البسيطة على المصفوفة الممتدة للمعادلات الخطية (1) سنحصل على المصفوفة الممتدة:

وهذا يعني أن الصيغة المدرجة الصفية المختزنة للمصفوفة A هي I_n.

3←4 : نفرض أن الصيغة المدرجة الصفية المختزلة للمصفوفة A هو I_n.

نضرب A من جهة اليسار بسلسلة من عمليات الصف البسيطة فتتحول A إلى I_n.

3)     .......................................E₁E₂…E_nA=I_n

ولما كانت E₁ ، E₂ ، ..... ، E_n قابلة للانعكاس، وبضرب طرفي المعادلة (3) بالمصفوفات نحصل على:

وبموجب المبرهنة (1-5-2) فإن A يعبر عنها كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة.

4←1 : إذا عبرنا عن A كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة، فإن A هي حاصل ضرب مصفوفات قابلة للانعكاس ومن ذلك نستنتج أن A قابلة للانعكاس [لاحظ مبرهنة (1-4-5) ومبرهنة (1-5-2).

بعكس طرفي الصيغة (3) نحصل على:

هذا يعني أن المصفوفة A نحصل عليها بضرب I_n من اليسار بالمصفوفات البسيطة E_n,….,E₂,E₁

وبمقارنة العلاقتين (3) و (5) يتبين لنا أن سلسلة عمليات الصف التي تحول A إلى I_n ستحول I_n إلى A^-1.

طريقة إيجاد معكوس المصفوفة القابلة للانعكاس:

تتلخص هذه الطريقة بإيجاد عمليات صف بسيطة تحول A إلى I_n ومن ثم استخدام نفس هذه السلسلة نفس هذه السلسلة من العمليات على المصفوفة المحايدة بجوار A للحصول على A^-1. وللقيام بذلك نضع المصفوفة المحايدة على يمين A للحصول على الشكل [A : I_n] ومن ثم إجراء عمليات الصف على هذه المصفوفة حتى يتحول الجانب الأيسر إلى I_n. هذه العمليات ستحول الجانب الأيمن إلى A^-1، وسنحصل على الشكل [I_n : A^-1].

مثال (4):

ملاحظة:

من غير الممكن مسبقاً معرفة فيما إذا كانت A مصفوفة قابلة للانعكاس أم لا. فإذا كانت A غير قابلة للانعكاس فلا يمكن اختزالها إلى I_n بموجب العمليات الصفية البسيطة، بمعنى آخر، أن الشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة A يحتوي على الأقل على صف واحد جميع عناصره أصفار.

مثال (6):

الحل:

باعتماد الطريقة الموضحة في المثالين 4 و 5 نحصل في إحدى خطوات الحل على الشكل الآتي: