المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9764 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
معنى كلمة وصل
27 / 11 / 2022
معنى كلمة نمل
27 / 11 / 2022
معنى كلمة نكل
27 / 11 / 2022
معنى كلمة نفل
27 / 11 / 2022
معنى كلمة نسل
27 / 11 / 2022
عمل أهل قرطبة حجة في الفقه
27 / 11 / 2022



أنظمة المعادلات الخطية والمصفوفات -المصفوفات البسيطة، طريقة إيجاد معكوس المصفوفة A-1  
  
32979   01:24 صباحاً   التاريخ: 13 / 3 / 2016
المؤلف : علي جاسم التميمي
الكتاب أو المصدر : مقدمة في الجبر الخطي
الجزء والصفحة : 56-63
القسم : الرياضيات / الجبر / الجبر الخطي /

المصفوفات البسيطة، طريقة إيجاد معكوس المصفوفة A-1:

سوف نستعرض في هذا البند تنسيقاً بسيطاً لإيجاد معكوس المصفوفة ونناقش بعض الخواص الأساسية للمصفوفات القابلة للانعكاس.

تعريف (1-1):

تمسى المصفوفة المربعة A مصفوفة بسيط إذا أمكن إيجادها من المصفوفة المحايدة In باستخدام عملية صف بسيطة واحدة.

مثال (1):

عند ضرب مصفوفة A  من جهة اليسار بمصفوفة أولية مثل E، فإن تأثير ذلك يكون معادلة لإجراء عملية صفية على A.

مثال (2):

  

مصفوفة بسيطة حصلنا عليها من ضرب الصف الأول في 3 وإضافة حاصل الضرب إلى الصف الثالث من المصفوفة I3.

إذن:

وهذا الشكل معادل للمصفوفة الناتجة من إضافة 3 أضعاف الصف الأول في A إلى الصف الثالث فيها.

ملاحظة:

إذا أثرت عملي صف بسيطة E على المصفوفة المحايدة In للحصول على مصفوفة بسيطة، فإنه توجد عملية صف ثانية إذا أثرت على E ستعيدها إلى In.

مثال (3):

نفرض أن E مصفوفة ناتجة من ضرب الصف رقم i في المصفوفة In بالثابت غير الصفري k.

وإذا ضربنا الصف رقم i من المصفوفة E بالثابت 1/k فإننا سنحصل على المصفوفة In، العمليات التي تعيد E إلى  In تسمى العمليات العكسية.

مبرهنة (1-2):

كل مصفوفة بسيطة قابلة للانعكاس وكذلك المعكوس مصفوفة بسيطة.

البرهان:

لتكن E مصفوفة بسيطة ناتجة عن تأثير عملية صفية بسيطة على In. أفرض أن E' مصفوفة ناتجة من تأثير معكوس هذه العملية على In، وبموجب الملاحظة أعلاه وحقيقة أن عمليات الصف العكسية تزيل تأثير أحدهما للأخرى فإن:

                                                

لذا فالمصفوفة البسيطة E' هي معكوس E.

مبرهنة (1-3):

لتكن A مصفوفة سعتها n x n، فإن الصيغ الآتية متكافئة، أي، إما جميعها صحيحة أو جميعاً خاطئة.

1. A قابلة للانعكاس.

2. AX = 0 لها حل وحيد هو الحل الصفري.

3. الصيغة المدرجة الصفية المختزلة للمصفوفة A هي المصفوفة In.

4. يعبر عن A كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة.

البرهان:

1←2 : نفرض أن A قابلة للانعكاس وأن X' هو حل للنظام المتجانس AX = 0. لذا فإن     AX' = 0. لذا فإن AX'= 0.

 A قابلة للانعكاس فإن A-1، معكوس A، موجود . بضرب AX' = 0 بالمصفوفة A-1 من جهة اليسار نحصل على

                                                

إذن X' = 0. نستنتج من ذلك أن الحل الوحيد هو الحل الصفري.

2←3 : نفرض أن AX = 0 هو الشكل المصفوفي للنظام الخطي:

                   

افرض أن حل هذه النظام هو الحل الصفري. إذا استخدمنا طريقة اختزال كاوس ــ جوردان فإن المعادلات المقابل للشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة الممتدة سيكون:

          

 

وبتطبيق عمليات الصف البسيطة على المصفوفة الممتدة للمعادلات الخطية (1) سنحصل على المصفوفة الممتدة:

وهذا يعني أن الصيغة المدرجة الصفية المختزنة للمصفوفة A هي In.

3←4 : نفرض أن الصيغة المدرجة الصفية المختزلة للمصفوفة A هو In.

نضرب A من جهة اليسار بسلسلة من عمليات الصف البسيطة فتتحول A إلى In.

3)     .......................................E1E2…EnA=In

ولما كانت E1 ، E2 ، ..... ، En قابلة للانعكاس، وبضرب طرفي المعادلة (3) بالمصفوفات نحصل على:

وبموجب المبرهنة (1-5-2) فإن A يعبر عنها كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة.

4←1 : إذا عبرنا عن A كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة، فإن A هي حاصل ضرب مصفوفات قابلة للانعكاس ومن ذلك نستنتج أن A قابلة للانعكاس [لاحظ مبرهنة (1-4-5) ومبرهنة (1-5-2).

بعكس طرفي الصيغة (3) نحصل على:

هذا يعني أن المصفوفة A نحصل عليها بضرب In من اليسار بالمصفوفات البسيطة En،….،E2،E1

وبمقارنة العلاقتين (3) و (5) يتبين لنا أن سلسلة عمليات الصف التي تحول A إلى In ستحول In إلى A-1.

طريقة إيجاد معكوس المصفوفة القابلة للانعكاس:

تتلخص هذه الطريقة بإيجاد عمليات صف بسيطة تحول A إلى In ومن ثم استخدام نفس هذه السلسلة نفس هذه السلسلة من العمليات على المصفوفة المحايدة بجوار A للحصول على A-1. وللقيام بذلك نضع المصفوفة المحايدة على يمين A للحصول على الشكل [A : In] ومن ثم إجراء عمليات الصف على هذه المصفوفة حتى يتحول الجانب الأيسر إلى In. هذه العمليات ستحول الجانب الأيمن إلى A-1، وسنحصل على الشكل [In : A-1].

مثال (4):

ملاحظة:

من غير الممكن مسبقاً معرفة فيما إذا كانت A مصفوفة قابلة للانعكاس أم لا. فإذا كانت A غير قابلة للانعكاس فلا يمكن اختزالها إلى In بموجب العمليات الصفية البسيطة، بمعنى آخر، أن الشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة A يحتوي على الأقل على صف واحد جميع عناصره أصفار.

مثال (6):

                             

                  

الحل:

باعتماد الطريقة الموضحة في المثالين 4 و 5 نحصل في إحدى خطوات الحل على الشكل الآتي:

إذ أن الصف رقم 3 من المصفوفة من الجهة اليسرى جميع عناصره أصفار. لذا فالمصفوفة غير قابلة للانعكاس.

 

 

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





عرض بعض النفائس والمقتنيات.. متحف الكفيل يشارك في معرض جامعة العميد
لتعزيز التعاون المشترك... الشؤون الفكرية يستقبل رئيس دائرة أفريقيا في وزارة الخارجية
ضمن برنامج تأهيل المنتسبين الجُدد.. قسم التطوير يقيم ورشة الموظّف المثالي
قسم التربية والتعليم يُنظم ورشة تطويرية لملاكاته التدريسية