المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
مـحددات الطبقـة الاجتـماعيـة للمستهلك وقـياسهـا
2024-12-04
الطبقة الاجتماعية والمنزلة الاجتماعية وخصائص الطبقة الاجتماعية
2024-12-04
معطيات الإخلاص
2024-12-04
موانع الإخلاص
2024-12-04
حقيقة الإخلاص
2024-12-04
الإخلاص في الروايات الشريفة
2024-12-04

الكمية المتجهة
30-7-2017
الحزن وفضله.
2023-04-16
أصوات اللغة (تناوب الأصوات وحلول بعضها محل بعض)
23-4-2019
Vowels and diphthongs lettER
2024-02-26
مبدأ هايزنبيرغ الارتيابي
2023-10-16
الارتباط بالله حياة خالدة
29-8-2021

Karnaugh Map  
  
1448   04:09 مساءً   date: 30-1-2022
Author : Booth, T
Book or Source : Digital Networks and Computer Systems. New York: Wiley
Page and Part : ...


Read More
Date: 8-2-2022 698
Date: 24-1-2022 956
Date: 17-2-2022 928

Karnaugh Map

 

In combinatorial logic minimization, a device known as a Karnaugh map is frequently used. It is similar to a truth table, but the various variables are represented along two axes and are arranged in such a way that only one input bit changes in going from one square to an adjacent square. It is also known as a Veitch diagram, K-map, or KV-map.

The Karnaugh map may be used to quickly eliminate redundant operations in a Boolean function. The easiest to read Karnaugh maps are those drawn for a function in the form of a complete product or "sum of products," where the latter name also implies the use of · and + for the AND and OR operators. In a typical truth table for such a function, the inputs are enumerated using 0 for false and 1 for true, and ordered as a counting sequence when read as positive binary integers. A truth table for a function of four variables is illustrated below.

x_1 x_2 x_3 x_4 f  
0 0 0 0 0  
0 0 0 1 0  
0 0 1 0 1 x^__1x^__2x_3x^__4
0 0 1 1 1 x^__1x^__2x_3x_4
0 1 0 0 0  
0 1 0 1 0  
0 1 1 0 1 x^__1x_2x_3x^__4
0 1 1 1 1 x^__1x_2x_3x_4
1 0 0 0 1 x_1x^__2x^__3x^__4
1 0 0 1 0  
1 0 1 0 0  
1 0 1 1 0  
1 1 0 0 1 x_1x_2x^__3x^__4
1 1 0 1 1 x_1x_2x^__3x_4
1 1 1 0 0  
1 1 1 1 0  

For those rows in the table where the function value is 1 (True), a logical expression called a minterm is shown. The minterms use the overbar notation to mean NOT. When all seven minterms are accumulated,

 f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x^__1x^__2x_3x^__4+x^__1x^__2x_3x_4+x^__1x_2x_3x^__4+x^__1x_2x_3x_4+x_1x^__2x^__3x^__4+x_1x_2x^__3x^__4+x_1x_2x^__3x_4,

(1)

the function is realized. This realization is not optimal, and a Karnaugh map can be used to reduce it.

KarnaughMap

A Karnaugh map for the function is shown above. It is a two dimensional layout of the truth table. Each dimension spans an adjacent, though not necessarily so, pair of variables. Instead of a counting sequence, the variables' sequence is in Gray code, so that between each pair of adjacent cells (in rows or columns) only a single variable changes state.

On the map, neighboring cells where the function value is 1 are grouped together with loops. Each loop represents minterms which can be reduced. Those variables which change within a loop can be eliminated. The validity of this, using the uppermost expression as an example, can be shown algebraically.

x_1·x_2·x^__3·x^__4+x_1·x^__2·x^__3·x^__4 = x_2·(x_1·x^__3·x^__4)+x^__2·(x_1·x^__3·x^__4)

(2)

= (x_2+x^__2)·(x_1·x^__3·x^__4)

(3)

= x_1·x^__3·x^__4.

(4)

Karnaugh map on a torus

Loops can also be drawn wrapping around rows and/or columns, because the Karnaugh map (up to four variables) is really the surface of a torus.

Karnaugh maps such as in the above example can be similarly drawn for two (degenerate) or three variables. They can be employed for more than four variables (e.g., five variables by overlaying two four-variable maps), but visualization becomes a much greater chore than algebra.

There are other logic design and minimization methods based on the Karnaugh map, such as for using NAND operators instead of AND and OR.


REFERENCES

Booth, T. Digital Networks and Computer Systems. New York: Wiley, pp. 64 and 125-136, 1971.

Muroga, S. Logic Design and Switching Theory. New York: Wiley, pp. 87-90 and 281-297, 1979.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.