خلاصة دراسة منحنى الدالة y = f(x) في المجال [a , b] :

CONCLUSION OF STUDY OF FUNCTION GRAPH IN INTERVAL [ A , B]

خطوات تمثيل الدوال :  Graph study process

الخطوة الأولى Case One  : في الأول يتم التعرف على صيغة الدالة ومداها ، ثم رسم معلم متعامد ، وإن أمكن متجانس على الورقة المليمترية. من بين المعالم المطلوب معرفتها على مستوى المقرر ثلاثة وهي :

1- معلم ذو محورين (OX , OY) ، وهو المعلم المألوف في المستوى.

شكل (1-1)

2- معلم متعامد ذو محورين (O , X , Y , I , J) ، وهو معلم كثير الاستخدام في المستوى لتمثيل البيانات.

شكل (1-2)

3- معلم متجانس (O , X , Y , I , J) : وهو معلم بسيط للاستخدام في المستوى لتمثيل البيانات. ويختلف عن المعلم المتعامد أن الزاوية بين المحورين ليست 90 درجة ، غير أنه يمتاز بأنه متساوية  الطويلة.

شكل (1-3)

4- معلم متعامد ومتجانس (O , X ,Y , I , J) : وهو معلم أكثر بساطة للاستخدام في المستوى لتمثيل البيانات. ويتميز هذا المعلم بأنه متعامد (أي أن الزاوية بين المحورين ليست 90 درجة) ، وأنه متجانس (أي أنه متساوي الطويلة).

    شكل (1-4)

ملاحظة : تفضل استخدام المعلم المتعامد والمتجانس لكل التمثيلات في هذا المقرر، إلا في حالة التعسير ، نستخدم المعلم المتعامد ، وذلك لتوضيح البيانات بنوع من البساطة.

الخطوة الثانية  Case Two : نقوم بتشكيل جدول البيانات لنقاط من المجال للمتغير x والتي تقابله من المدى y ، ثم تدوينها في الجدول بالأسلوب الأفقي تارة، أو العمودي تارة أخرى. حسب الوفرة من المساحة ونوع الدالة. والأسلوبان الأفقي والعمودي مشار إليهما في هذين الشكلين :

شكل (1-5)

الخطوة الثالثة Case Three : يتم تمثيل ثنائيات (x , y) ، بيانات الجدول المحصل على المستوى المختار ، وليكن المعلم المتعامد والمتجانس.

الخطوة الرابعة Case Four : يتم الربط بين النقاط المحصل عليها خلال المجال بالخط الأملس غير المنكسر ، الذي يعطينا في النهاية المنحنى المطلوب تمثيله.

ملاحظة : يتم توضيح هذه الخطوات الأربع عبر الأمثلة التطبيقية التالية :

مثال (1) : ادرس وارسم منحنى الدالة y = f(x) = x⁴ في المجال [-1 , 1] .

الحل :

نلاحظ أن مجال الدالة يتكون من ال فترة المستمرة [-1 , 1] ، نحتار بعض النقاط الاساسية وندونها في الجدول الأفقي التالي :

إن تمثيل ثنائيات البيانات المحصل في الجدول تشكل البيان التالي :

                   شكل (1-6)

مثال (2) : ادرس وارسم منحنى الدالة y = f(x) 4x³ في المجال [-1 , 1].

الحل :

نلاحظ أن مجال الدالة يتكون من الفترة المسترة [-1 , 1] . نختار بعض النقاط الأساسية وندوبها في الجدول الأفقي التالي :

إن تمثيل ثنائيات المحصل في الجدول تشكل البيان التالي:

                                      شكل (1-7)

مثال (3) : ارسم منحنى الدالة y = f(x) = x⁴ في المجال [0 ,1].

نلاحظ أن مجال الدالة يتكون من الفترة المستمرة [0 ,1]، نختار بعض النقاط الأساسية وندوبها في الجدول الأفقي التالي :

إن تمثيل ثنائيات البيانات المحصل في الجدول تشكل البيان التالي :

                                      شكل (1-8)

مثال (3)  : مثل منحنى الدالة :                                              

                                      F(x) = x²-1         

أوجد المستقيم المماس عند الفاصلة x = -3 ؟ .

الحل :

لتوضيح دوال الأسئلة المطروحة سابقاً نقوم بالتمثيل البياني التالي:

شكل (1-9)

مثال (4) : مثل منحنى الدالة :

                                                Y = f(x) = x³

الحل :

يتضح ان شكل المنحني والذي يمكن ملاحظته بشكل واضح كما هو في الشكل التالي :

شكل (1-10)

مثال (5) : مثل منحنى الدالة :

                                      g(x) = x^1/3

الحل :

يمكن ملاحظة شكل الدالة كما هو في الشكل التالي :

                                      شكل (1-11)

مثال (6) : مثل منحنى  الدالة :

                                      F(x) = x⁴

الحل : يتبين أن منحنى الدالة f(x) = x⁴ يقبل قيمة حدية صغرى (Iocal minimum) محلية في الفترة [-1 , 1] عند X= 0 ، والشكل هو :

                                      شكل (1-12)

مثال (7) : مثل منحنى الدالة :

                                      F(x) = -x⁴

الحل :

يتبين أن منحنى الدالة f(x) = -x⁴ يقبل قيمة حدية عظمى (local  maximum) محلية في [-1, 1] عند x = 0 وشكل منحنى الدالة هو :

                                          شكل (1-13)