المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر

ما يلاحظه المفسِّر في عملية التفسير
13-10-2014
دليل صرف الوجود في الأحاديث الإسلامية
21-12-2015
الجيوستراتيجية و الجيوبوليتك
26-9-2021
الثوم واستخداماته الطبية
2024-09-09
علاقة الجغرافيا بالعلوم الأخرى
10/12/2022
تمييز الآيات المكّية عن المدنية
18-11-2014

Brouwer Degree  
  
1514   10:47 صباحاً   date: 4-7-2021
Author : Drábek, P. and Milota, J.
Book or Source : "Brouwer Degree." §4.3D in Methods of Nonlinear Analysis: Applications to Differential Equations. Basel, Switzerland: Birkhäuser
Page and Part : ...


Read More
Date: 13-5-2021 3309
Date: 1-8-2021 1667
Date: 1-7-2017 1239

Brouwer Degree

Let f:M|->N be a map between two compact, connected, oriented n-dimensional manifolds without boundary. Then f induces a homomorphism f_* from the homology groups H_n(M) to H_n(N), both canonically isomorphic to the integers, and so f_* can be thought of as a homomorphism of the integers. The integer d(f) to which the number 1 gets sent is called the degree of the map f.

There is an easy way to compute d(f) if the manifolds involved are smooth. Let x in N, and approximate f by a smooth map homotopic to f such that x is a "regular value" of f (which exist and are everywhere dense by Sard's theorem). By the implicit function theorem, each point in f^(-1)(x) has a neighborhood such that f restricted to it is a diffeomorphism. If the diffeomorphism is orientation preserving, assign it the number +1, and if it is orientation reversing, assign it the number -1. Add up all the numbers for all the points in f^(-1)(x), and that is the d(f), the Brouwer degree of f. One reason why the degree of a map is important is because it is a homotopy invariant. A sharper result states that two self-maps of the n-sphere are homotopic iff they have the same degree. This is equivalent to the result that the nth homotopy group of the n-sphere is the set Z of integers. The isomorphism is given by taking the degree of any representation.

One important application of the degree concept is that homotopy classes of maps from n-spheres to n-spheres are classified by their degree (there is exactly one homotopy class of maps for every integer n, and n is the degree of those maps).


REFERENCES:

Drábek, P. and Milota, J. "Brouwer Degree." §4.3D in Methods of Nonlinear Analysis: Applications to Differential Equations. Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 228-248, 2007.

Milnor, J. W. Topology from the Differentiable Viewpoint. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 27-31, 1965.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.