المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
توزيع الضغط الجوي في شهر كانون الثانيThe Pressure Distribution in January
2024-12-03
صفات جودة ثمار الفلفل
2024-12-03
الرياح العامة General Wind
2024-12-03
تناقص الحرارة الذاتي Laps Rate
2024-12-03
تعريف الرياح وقياسها Wind Definition & Measurement
2024-12-03
الموازنة الإشعاعية Solar Radiation Budget
2024-12-03

النهي عن الأستئكال بالقرآن
14-8-2021
التخصيص بالمنفصل
10-9-2016
المبيدات الحشرية (مبيد ايميداكلوبريد 350 إس سي Imidacloprid 350SC)
29-9-2016
استخدامات حمض كلور الماء
6-6-2018
التفسير والسياق القرآني
24-04-2015
أهمية الموز غذائيا وصحيا
21-6-2016

Morgan-Voyce Polynomials  
  
1600   04:24 مساءً   date: 20-9-2019
Author : Swamy, M. N. S.
Book or Source : "Properties of the Polynomials Defined by Morgan-Voyce." Fib. Quart. 4
Page and Part : ...


Read More
Date: 25-5-2019 1760
Date: 3-8-2019 1703
Date: 21-9-2018 3584

Morgan-Voyce Polynomials

Morgan-VoycePolynomials

The Morgan-Voyce polynomials are polynomials related to the Brahmagupta and Fibonacci polynomials. They are defined by the recurrence relations

b_n(x) = xB_(n-1)(x)+b_(n-1)(x)

(1)

B_n(x) = (x+1)B_(n-1)(x)+b_(n-1)(x)

(2)

for n>=1, with

 b_0(x)=B_0(x)=1.

(3)

Alternative recurrences are

b_n(x) = (x+2)b_(n-1)(x)-b_(n-2)(x)

(4)

B_n(x) = (x+2)B_(n-1)(x)-B_(n-2)(x)

(5)

with b_1(x)=1+x and B_1(x)=2+x, and

b_(n+1)b_(n-1)-b_n^2 = x

(6)

B_(n+1)B_(n-1)-B_n^2 = -1.

(7)

The polynomials can be given explicitly by the sums

B_n(x) = sum_(k=0)^(n)(n+k+1; n-k)x^k

(8)

b_n(x) = sum_(k=0)^(n)(n+k; n-k)x^k.

(9)

Defining the matrix

 Q=[x+2 -1; 1 0]

(10)

gives the identities

Q^n = [B_n -B_(n-1); B_(n-1) -B_(n-2)]

(11)

Q^n-Q^(n-1) = [b_n -b_(n-1); b_(n-1) -b_(n-2)].

(12)

Defining

costheta = 1/2(x+2)

(13)

coshphi = 1/2(x+2)

(14)

gives

B_n(x) = (sin[(n+1)theta])/(sintheta)

(15)

B_n(x) = (sinh[(n+1)phi])/(sinhphi)

(16)

and

b_n(x) = (cos[1/2(2n+1)theta])/(cos(1/2theta))

(17)

b_n(x) = (cosh[1/2(2n+1)phi])/(cosh(1/2theta)).

(18)

The Morgan-Voyce polynomials are related to the Fibonacci polynomials F_n(x) by

b_n(x^2) = F_(2n+1)(x)

(19)

B_n(x^2) = 1/xF_(2n+2)(x)

(20)

(Swamy 1968ab).

B_n(x) satisfies the ordinary differential equation

(21)

and b_n(x) the equation

(22)

These and several other identities involving derivatives and integrals of the polynomials are given by Swamy (1968).


REFERENCES:

Lahr, J. "Fibonacci and Lucas Numbers and the Morgan-Voyce Polynomials in Ladder Networks and in Electric Line Theory." In Fibonacci Numbers and Their Applications (Ed. G. E. Bergum, A. N. Philippou, and A. F. Horadam). Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1986.

Morgan-Voyce, A. M. "Ladder Network Analysis Using Fibonacci Numbers." IRE Trans. Circuit Th. CT-6, 321-322, Sep. 1959.

Swamy, M. N. S. "Properties of the Polynomials Defined by Morgan-Voyce." Fib. Quart. 4, 73-81, 1966a.

Swamy, M. N. S. "More Fibonacci Identities." Fib. Quart. 4, 369-372, 1966b.

Swamy, M. N. S. "Further Properties of Morgan-Voyce Polynomials." Fib. Quart. 6, 167-175, 1968.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.