Ramanujan's two-variable theta function  is defined by

(1)

for  (Berndt 1985, p. 34; Berndt et al. 2000). It satisfies

(2)

and

			(3)
			(4)

(Berndt 1985, pp. 34-35; Berndt et al. 2000), where  is a q-Pochhammer symbol, i.e., a q-series.

A one-argument form of  is also defined by

			(5)
			(6)
			(7)

(OEIS A010815; Berndt 1985, pp. 36-37; Berndt et al. 2000), where  is a q-Pochhammer symbol. The identities above are equivalent to the pentagonal number theorem.

The function also satisfies

			(8)
			(9)

Ramanujan's -function  is defined by

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

(OEIS A000122), where  is a Jacobi theta function (Berndt 1985, pp. 36-37).  is a generalization of , with the two being connected by

(15)

Special values of  include

			(16)
			(17)

where  is a gamma function.

Ramanujan's -function  is defined by

			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)

(OEIS A010054; Berndt 1985, p. 37).

Ramanujan's -function  is defined by

			(24)
			(25)
			(26)

(OEIS A000700; Berndt 1985, p. 37).

A different  function is sometimes defined as

(27)

where  is again a Jacobi theta function, which has special value

(28)

REFERENCES:

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part III. New York: Springer-Verlag, 1985.

Berndt, B. C.; Huang, S.-S.; Sohn, J.; and Son, S. H. "Some Theorems on the Rogers-Ramanujan Continued Fraction in Ramanujan's Lost Notebook." Trans. Amer. Math. Soc. 352, 2157-2177, 2000.

Mc Laughlin, J.; Sills, A. V.; and Zimmer, P. "Dynamic Survey DS15: Rogers-Ramanujan-Slater Type Identities." Electronic J. Combinatorics, DS15, 1-59, May 31, 2008. http://www.combinatorics.org/Surveys/ds15.pdf.

Sloane, N. J. A. Sequences A000122, A000700/M0217, A010054, and A010815 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة عن أخلاقيات المهنة للمنتسبين الجدد

تتضمن زيارة المراقد المقدسة في كربلاء.. معهد القرآن الكريم النسوي ينظم سفرة دينية لطالباته

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد