المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
أضيف حديثاً
النـظام المـصرفـي الجـزائـري فـي ظـل التـحريـر المـالـي
2024-12-18
قانون النقد والقرض وبداية التحرير المالي والمصرفي و التحرير التدريجي لمعدلات الفائدة في الجزائـر
2024-12-18
النظام المصرفي الجزائري خلال مرحلة التخطيط المركزي والإصلاح البنكي وبداية التحرير المالي
2024-12-18
الانتقادات الموجهة لنظرية التحرير المالي والمصرفي
2024-12-18
أهـداف التـحريـر المـالـي والمـصرفـي وشـروط إنـجـاحـه
2024-12-18
آثار (بسوسنس الثالث) الكاهن الأكبر والملك (الكرنك)
2024-12-18

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024

مختارات
حنظلة بن النعمان الأنصاري
27-7-2017
الزراعة التقليدية Conventional Agriculture
2024-02-27
طول فصل النمو
17-9-2021
تفسير سورة يس من آية (1-80)
2024-02-02
Gill,s Method
24-11-2021
السيرة العقلائيّة
11-9-2016

Spherical Harmonic  
  
2873   05:37 مساءً   date: 6-8-2019
Author : Abbott, P
Book or Source : "2. Schrödinger Equation." Lecture Notes for Computational Physics 2. http://physics.uwa.edu.au/pub/Computational/CP2/2.Schroedinger.nb.
Page and Part : ...


Read More
Global Minimum
Date: 21-9-2018 1626
Mock Theta Function
Date: 25-8-2019 2791
Riemann Zeta Function
Date: 13-9-2019 2960

Spherical Harmonic

The spherical harmonics Y_l^m(theta,phi) are the angular portion of the solution to Laplace's equation in spherical coordinates where azimuthal symmetry is not present. Some care must be taken in identifying the notational convention being used. In this entry, theta is taken as the polar (colatitudinal) coordinate with theta in [0,pi], and phi as the azimuthal (longitudinal) coordinate with phi in [0,2pi). This is the convention normally used in physics, as described by Arfken (1985) and the Wolfram Language (in mathematical literature, theta usually denotes the longitudinal coordinate and phi the colatitudinal coordinate). Spherical harmonics are implemented in the Wolfram Language as SphericalHarmonicY[l, m, theta, phi].

Spherical harmonics satisfy the spherical harmonic differential equation, which is given by the angular part of Laplace's equation in spherical coordinates. Writing F=Phi(phi)Theta(theta) in this equation gives

(Phi(phi))/(sintheta)d/(dtheta)(sintheta(dTheta)/(dtheta))+(Theta(theta))/(sin^2theta)(d^2Phi(phi))/(dphi^2)+l(l+1)Theta(theta)Phi(phi)=0.
(1)

Multiplying by sin^2theta/(ThetaPhi) gives

[(sintheta)/(Theta(theta))d/(dtheta)(sintheta(dTheta)/(dtheta))+l(l+1)sin^2theta]+1/(Phi(phi))(d^2Phi(phi))/(dphi^2)=0.
(2)

Using separation of variables by equating the phi-dependent portion to a constant gives

1/(Phi(phi))(d^2Phi(phi))/(dphi^2)=-m^2,
(3)

which has solutions

Phi(phi)=Ae^(-imphi)+Be^(imphi).
(4)

Plugging in (3) into (2) gives the equation for the theta-dependent portion, whose solution is

Theta(theta)=P_l^m(costheta),
(5)

where m=-l, -(l-1), ..., 0, ..., l-1, l and P_l^m(z) is an associated Legendre polynomial. The spherical harmonics are then defined by combining Phi(phi) and Theta(theta),

Y_l^m(theta,phi)=sqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))P_l^m(costheta)e^(imphi),
(6)

where the normalization is chosen such that

(7)

(Arfken 1985, p. 681). Here, z^_ denotes the complex conjugate and delta_(mn) is the Kronecker delta. Sometimes (e.g., Arfken 1985), the Condon-Shortley phase (-1)^m is prepended to the definition of the spherical harmonics.

The spherical harmonics are sometimes separated into their real and imaginary parts,

Y_l^m^s(theta,phi)=sqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))P_l^m(costheta)sin(mphi)
(8)
Y_l^m^c(theta,phi)=sqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))P_l^m(costheta)cos(mphi).
(9)

The spherical harmonics obey

Y_l^(-l)(theta,phi) = 1/(2^ll!)sqrt(((2l+1)!)/(4pi))sin^lthetae^(-ilphi)
(10)
Y_l^0(theta,phi) = sqrt((2l+1)/(4pi))P_l(costheta)
(11)
Y_l^(-m)(theta,phi) = (-1)^mY^__l^m(theta,phi),
(12)

where P_l(x) is a Legendre polynomial.

Integrals of the spherical harmonics are given by

(13)

where (l_1 l_2 l_3; m_1 m_2 m_3) is a Wigner 3j-symbol (which is related to the Clebsch-Gordan coefficients). Special cases include

int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_0^0(theta,phi)Y^__L^M(theta,phi)sinthetadthetadphi = 1/(sqrt(4pi))
(14)
int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_1^0(theta,phi)Y^__(L+1)^M(theta,phi)sinthetadthetadphi = sqrt(3/(4pi))sqrt(((L+M+1)(L-M+1))/((2L+1)(2L+3)))
(15)
int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_1^1(theta,phi)Y^__(L+1)^(M+1)(theta,phi)sinthetadthetadphi = sqrt(3/(8pi))sqrt(((L+M+1)(L+M+2))/((2L+1)(2L+3)))
(16)
int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_1^1(theta,phi)Y^__(L-1)^(M+1)(theta,phi)sinthetadthetadphi = -sqrt(3/(8pi))sqrt(((L-M)(L-M-1))/((2L-1)(2L+1)))
(17)

(Arfken 1985, p. 700).

SphericalHarmonicsSphericalHarmonicsReIm

The above illustrations show |Y_l^m(theta,phi)|^2 (top), R[Y_l^m(theta,phi)]^2 (bottom left), and I[Y_l^m(theta,phi)]^2 (bottom right). The first few spherical harmonics are

Y_0^0(theta,phi) = 1/21/(sqrt(pi))
(18)
Y_1^(-1)(theta,phi) = 1/2sqrt(3/(2pi))sinthetae^(-iphi)
(19)
Y_1^0(theta,phi) = 1/2sqrt(3/pi)costheta
(20)
Y_1^1(theta,phi) = -1/2sqrt(3/(2pi))sinthetae^(iphi)
(21)
Y_2^(-2)(theta,phi) = 1/4sqrt((15)/(2pi))sin^2thetae^(-2iphi)
(22)
Y_2^(-1)(theta,phi) = 1/2sqrt((15)/(2pi))sinthetacosthetae^(-iphi)
(23)
Y_2^0(theta,phi) = 1/4sqrt(5/pi)(3cos^2theta-1)
(24)
Y_2^1(theta,phi) = -1/2sqrt((15)/(2pi))sinthetacosthetae^(iphi)
(25)
Y_2^2(theta,phi) = 1/4sqrt((15)/(2pi))sin^2thetae^(2iphi)
(26)
Y_3^(-3)(theta,phi) = 1/8sqrt((35)/pi)sin^3thetae^(-3iphi)
(27)
Y_3^(-2)(theta,phi) = 1/4sqrt((105)/(2pi))sin^2thetacosthetae^(-2iphi)
(28)
Y_3^(-1)(theta,phi) = 1/8sqrt((21)/pi)sintheta(5cos^2theta-1)e^(-iphi)
(29)
Y_3^0(theta,phi) = 1/4sqrt(7/pi)(5cos^3theta-3costheta)
(30)
Y_3^1(theta,phi) = -1/8sqrt((21)/pi)sintheta(5cos^2theta-1)e^(iphi)
(31)
Y_3^2(theta,phi) = 1/4sqrt((105)/(2pi))sin^2thetacosthetae^(2iphi)
(32)
Y_3^3(theta,phi) = -1/8sqrt((35)/pi)sin^3thetae^(3iphi).
(33)

Written in terms of Cartesian coordinates,

e^(iphi) = (x+iy)/(sqrt(x^2+y^2))
(34)
theta = sin^(-1)(sqrt((x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)))
(35)
= cos^(-1)(z/(sqrt(x^2+y^2+z^2))),
(36)

so

Y_0^0(theta,phi) = 1/21/(sqrt(pi))
(37)
Y_1^0(theta,phi) = 1/2sqrt(3/pi)z/(sqrt(x^2+y^2+z^2))
(38)
Y_1^1(theta,phi) = -1/2sqrt(3/(2pi))(x+iy)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))
(39)
Y_2^0(theta,phi) = 1/4sqrt(5/pi)((3z^2)/(x^2+y^2+z^2)-1)
(40)
Y_2^1(theta,phi) = -1/2sqrt((15)/(2pi))(z(x+iy))/(x^2+y^2+z^2)
(41)
Y_2^2(theta,phi) = 1/4sqrt((15)/(2pi))((x+iy)^2)/(x^2+y^2+z^2).
(42)

The zonal harmonics are defined to be those of the form

P_l^0(costheta)=P_l(costheta).
(43)

The tesseral harmonics are those of the form

sin(mphi)P_l^m(costheta)
(44)
cos(mphi)P_l^m(costheta)
(45)

for l!=m. The sectorial harmonics are of the form

sin(mphi)P_m^m(costheta)
(46)
cos(mphi)P_m^m(costheta).
(47)



الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
كل ما تود معرفته عن أهم فيتامين لسلامة الدماغ والأعصاب
التاريخ / 2024-12-18

الأخبار العلمية
ماذا سيحصل للأرض إذا تغير شكل نواتها؟
التاريخ / 2024-12-18

الساحة الاسلامية
جامعة الكفيل تناقش تحضيراتها لإطلاق مؤتمرها العلمي الدولي السادس
التاريخ / 2024-12-18