‏بما ان المنطق القضي يتعامل فقط مع العلاقات بين الجمل فانه لا يستطيع تفسير الاستدلال الذي يعتمد على العلاقات داخل الجمل. انه لا يستطيع مثلا ان يتعامل هع مثالنا السابق:

‏كل الرجال فانون

سقراط رجل

اذن سقراط فان.

‏نحتاج هنا الى المنطق الحملي او التفاضل الحملي. ولكن بما اننا سنحتاج في المنطق الحملي لأن نتعامل ايضا مع العلاقات بين الجمل، فان المنطق الحملي لا يختلف كليا عن المنطق القضي، بل يشمله.

 ص215

‏وكان هناك تفسير اولي لمفاهيم المنطق الحملي ‏. وناقشنا الثوابت الشخصية أ، ب، ج، والمتغيرات الشخصية س، ص، ع والاحمال د، هـ، و، الخ. وقدمنا ايضا المقياس العمومي A ‏، كما ذكرنا اننا معنيون في المنطق بالجمل فقط، وليس بالجمل المفتوحة مثل ج (س). نحتاج لأن نقلب جملة مثل هذه اما بالتعويض بثوابت فردية - ج (أ)، او بتقديم مقياس ─ A ‏س (ج (س)). كما نستطيع ترميز: كل الرجال فانون، كما في: A س (ر( س ) ← ف (س))، حيث تشير ر الى رجل، وف الى فان (فلجميع السينات: اذا كان س رجلا، فإن س فإن).

‏المقياس الثاني هو المقياس الوجودي E الذي يعبر عن (بعض) او يعني ‏بعبارة ادق:

‏يوجد على الاقل فرد واحد تكون الحالة بالنسبة له ( أن...... ) ان جملة: بعض الرجال حمقى، يكون رمزها اذن:

E س (ر (س) & ح (س) ).

‏ويمكن قراءة هذا الترميز كما يلي: هناك بعض السينات التي هي رجال وحمقى. لاحظ ان روابط الجمل مختلفة. فلو كتبنا & ‏بدلا  من ←          الموجود في مثال الـ A ‏، لقال هذا الرمز (خطأ) ان كل فرد رجل وفان في الوقت نفسه، في حين ان ← بدلا من & ‏في مثال الـ E ‏لن يقول ان بغض الرجال حمقى، بل يقول ان هناك بعض الافراد (او فرد واحد على الاقل) الذين سيكونون حمقى ان كانو رجالا.

‏بوسعنا الآن ترميز مثال سقراط:

A س (‌ )س) ← ف ‌(س))

‏ر (أ)

‏اذن ف (أ)

‏لا نستطيع على كل حال، ان نستدل انه اذا كان سقراط فانيا، فانه رجل

216

(فقد يكون قطتي). كما لا نستطيع ان نقوم بالاستدلال لو كانت المقدمة الأولى: بعض الرجال فانون. وفيما يلي بعض الاستدلالات المخطوءة:

(1) A س (ر (س) ← ف (س) )

ف (س)

اذن ر (س)

(2) E س (ر (س) & ف (س) )

ر (س)

اذن ف (س)

من السهل ان نرى لما تصح هذه الاستدلالات بموجب نظرية المجموعة البسيطة. ففي الشكل 8 تمثل الدائرة الكبرى مجموعة الافراد الذين هم فانون (ف)، وتمثل الدائرة الوسطى مجموعة الافراد الذين هم رجال (ر)، وهي في داخل الدائرة الكبرى. يتبع من هذا ان اي فرد في المجموعة ر ─ سقراط مثلا، هو ايضا فرد في المجموعة ف، لكن هذا لا يعني طبعا ان اي فرد المجموعة ف هو ضمنيا في المجموعة ر (اذ يكون او قد لا يكون كذلك ).

ص217

ومع المقياس الوجودي، فان كل ما نعرفه هو ان مجموعتي الفانين والرجال تتداخلان ─ هناك على الاقل فرد واحد موجود في كلتا المجموعتين، اي انه فان ورجل (الشكل ٩ ‏). ولا يتبع من هذا طبعا ان اي فرد في أية مجموعة هو ايضا فرد في المجموعة الاخرى، الا ان واحدا على الاقل يجب اذ يكون ‏كذلك.

‏وأخيرا فمن الجدير بالملاحظة ان E, A ‏يترابطان منطقيا بعضهما ببعض بموجب النفي.، اذ ان: كل الرجال فانون، يمكن تفسيرها: لا يوجد رجل غير فان. ويمكن تبيان هذا بالتساوي المنطقي

‏لـ: A ‏س (ر (س) ← ف (س)) / / / N E ‏س (ر (س)  & N ف ( س)).

‏وبصيغة مبسطة نحصل على هذه التعادلات:

E س (ح (س)) /// A N س (N ح (س))

E N س (ح (س)) /// A س (N ح (س))

E س (N ح (س)) /// A N س (ح (س))

E N (N ح (س)) /// س (ح (س))

‏ويمكن التأكد من رجاجة التعادلات بسهولة فالتعادل الثالث يقول: اذا كان هناك شيء ليس احمق، فلا يعني هذا ان كل شيء احمق، والعكس بالعكس. فالترميز غير المستحب الى حد ما يقرر ملاحظات بسيطة جدا. ونستطيع ان نتعامل مع مشكلة ( ‏لا احد) فلجملة: لا احد جاء، تكون البنية المنطقية: E N س (ج (س))، اي ليس هنالك س بحيث ان س جاء، الا انها تبدو من الناحية القواعدية مثل: جون جاء، او: الرجال جاؤا، اللتين هما ببساطة: ج (أ) و A ‏س (ر (س) ← ج (س)). وتتولد النكتة من التزاوج الخاطئ بين القواعد والمنطق.

‏لاحظا اذ ثمة غموضاً في عبارة: جون وبل او فريد، التي يسهل

ص218

‏معالجتها ضمن الاقواس ─ (أ & ‏ب) V ج مقابل أ & ‏(ب اوج). فالأقواس الدائرية في المثال الاول تبين ان أ وب فقط مرتبطان بـ & ‏، لكن أ وب (سومة) ‏ترتبطان بـ ج بوساطة V. وهذه مسألة مدى، وسنقول ان & ‏هنا تحت مدى V لأنها مشمولة بذلك الجزء من الصيغة المتأثرة بـ V (لكن العكس غير صحيح). وبالنسبة للمقاييس فقد تصورنا (رغم اننا لم نقل فعلا) ان ما هو تحت مداها ‏يتبعها مباشرة في الاقواس الدائرية. فالصيغة ر(س) ← في (س)، هي تحت مدى A في A س (ر(س) ← ف (س)) وهذا ليس بالضبط مثل: (A س (ر (س)) ← ف (س)، حيث تكون ر ‌(س‌) فقط تحت مدى A ‏في حين ان في  (س) جملة مفتوحة لا تعبر عن أية فرضية (انها لا تخبرنا اي فرد فان اواي افراد فانون). والامر صحيح بالنسبة للنفي، عدا ان الاقواس غير ضرورية اذا كان مداها هو المكوّن اللاحق مباشرة، مثلا، N ‏ب او N E ‏س، لكننا نحتاج الى ‏اقواس في N (ب & ‏د) لتمييزها عن N ب & ‏د.

‏وقد يوجد على كل حال مقياس واحد في جملة ما. ويصبح مدى المقياس مهما. فمثلا، كل واحد يحب شخص ما، غامضة لأنها قد تعني اما ان هناك شخصا معينا يحبه كل واحد (وبهذا يحب كل واحد الشخص نفسه) او ان كل واحد يحب شخصا ما (قد يكون وقد لا يكون نفسه في كل حالة). ويمكن حل ‏هذا الغموض بكل بساطة بكتابة المقاييس بتسلسل مختلف. وجرى التقليد على ان المقياس الاول يحتوي المقياس الثاني تحت مداه. نستطيع ان نرمز E ‏ص A ‏س (ي ‌(س، ص‌))، وكذلك: A ‏س E ‏ص (ي ‌(س، ص‌)) اللتين تقولان على التوالي: يوجد ص، بحيث ان لجميع السينات، س يحب ص، و: لجميع السينات، يوجد ص بحيث ان س يحب ص [ي تشير هنا الى الفعل يحب].

‏ان اللغة الاعتيادية لا تسم المدى بانتظام مع كلمات مثل: جميع، بعض، او ادوات النفي. اذ على الرغم من ان جملة: شخص ما لم يأت، قد تفسر

 ص219

‏أنها E ‏س ( Nج " س ") ( تمثل ج الفعل جاء او يأتي)، فان جملة: لم يأت اي شخص، قد تكون على الاغلب: N A ‏س (ج "س" )، ما جاء كل واحد، وليس: A ‏س ( N ج "س")، فشل كل واحد في المجيء. وكما رأينا، فان: كل واحد يحب شخصا مي مجرد جملة غامضة الا ان العلاقة بين المدى وتسلسل الكلمات هي التي تفسر الاختلاف بين: كل واحد في  الغرفة يتكلم لغتين، و: لفتان تتكلمان من قبل كل واحد في هذه الغرفة. المشكل هنا ان الجملتين المعلومة والمجهولة تبدوان عموما بمعنى واحد. الا ان اكثر التفاسير احتمالا للجملة الاولى هوان اللغتين قد تكونان مختلفتين لمختلف الاشخاص. اما في الجملة الثانية فهناك لغتان محددتان. ويمكن تفسير هذا بحقيقة ان البناء للمجهول يغير تسلسل المقياسين: كل واحد، و: العدد اثنين و يغير بذلك مداهما. وتكون البنيتان المنطقيتان لها: A ‏س E‏ ص (ك "س، ص ")، وكذلك: E ‏صA ‏س (ك " س، ص ")، حيث تشير س الى الاشخاص في هذه الغرفة و ص الى لغتين، وك الى التكلم. وينطبق الامر ذاته على الكلمات المنطقية الاخرى مثل: كثير، قليل، التي لا يمكن معاملتها بسهولة بموجب اللغة المنطقية. فجملة: رجال كثيرون يقرؤون كتبا قليلة، ستفهم عادة على انها تعني ان كثيرا من الرجال يقومون بقراءة قليلة، في حين ان جملة: هناك كتب قليلة تقرأ من قبل اناس كثيرين، ستفهم بمعنى ان هناك كتب قليلة يقرأها رجال كثيرون. يمكن تفسير الفرق بسهولة بموجب مدى الكلمتين كثير وقليل. ويمكن تمثيل مدى كل من كلمة كثير والنفي في زوج آخر من الجمل: سهام كبيرة لم تصب الهدف، و: لم يصب الهدف بسهام كيرة. ان اكثر التفسيرات احتمالا هو ان الجملة الاولى تقول ان سهاما كثيرة قد اخطأت الهدف، في حين ان الجملة الثانية تقول فقط ان سهاما ليست كثيرة (بل قليلة) قد اصابته (وربما لم يخطئه فعليا اي سهم).

ص220