تعريف (1-1):

يقال للمصفوفة المربعة A بأنها قابلة للأقطرة إذا وجدت مصفوفة مثل P قابلة للانعكاس بحيث:

                                                                                      P^-1AP=D

حيث D مصففة قطرية. P تسمى مؤقطرة A.

مثال(1):

حول  إلى مصفوفة قطرية.

1. نوجد المعادلة المميزة.

3. بالتعويض في المعادلة  واختزال المصفوفة الناتجة ومن ثم بحل النظام المتجانس نحصل على:

5. إذن عند تعويض بالتعويض عن a = -16 (لأن a كمية ثابتة ويمكن اختيارها -16).

وعند التعويض عن   λ=6​والضرب c = 1 نحصل على   واخيراً عند تعويض 7 =λو  v = 1 نحصل على المتجه الذاتي 

6. بوضع الأعمدة v₃, v₂, v₁ بشكل صفوف نحصل على المصفوفة التالية:

بما أن P قابلة للانعكاس ، نجد P^-1 بإحدى الطرق التي تعلمناها في فصول سابقة.

7. وبالتعويض في العلاقة P^-1AP سنحصل على

لاحظ أن عناصر القطر الرئيسي في D هي القيم الذاتية للمصفوفة A وكما وأن صفوف P هي المتجهات الذاتية v₃, v₂, v₁

مبرهنة (1-2):

إذا كانت A مصفوفة سعتها n x n، فإن A قابلة للأفطرة إذا وفقط إذا احتوي على n من المتجهات الذاتية المستقلة خطياً وأن صفوف P هي المتجهات الذاتية المستقلة خطياً.

البرهان:

نفرض أن A تحوي على n من المتجهات الذاتية المستقلة خطياًv_n , …., v₂, v₁ المرافقة للقيم الذاتية 

إذن P^-1AP = D ، أي أن AP = PD.

حيث D مصفوفة قطرية قيمها الذاتية,λ₁ n,…. ,λ₂λ بما أن متجهات أعمدة P مستقلة خطياً، فإن P قابلة للانعكاس بموجب (3) فإن P^-1AP = D، بمعنى آخر، A قابلة للأقطرة.

ويمن تلخيص طريقة أقطرة المصفوفة A كما يأتي:

1. نجد المتجهات الذاتية للمصفوفة A المستقلة خطياً، نسميها v₂, v₁, …, v_n.

2. نكون المصفوفة P، أي P^-1 ومن ثم نعوض في P^-1AP والتي ستكون مصفوفة قطرية عناصرها في القطر الرئيسي هي: هي القيم الذاتية المرافقة للمتجهات الذاتية v_n, …, v₂, v₁.

مثال(2):

أوجد P التي تؤقطر 

1. المعادلة المميزة هي:

2. القيم وبما أن هذه المتجهات مستقلة خطياً لذا فإنها تؤلف أساس للفضاء الذاتي المرافق.

وعندما λ =1فإن (4) تصبح:                                                   

وبحل هذا النظام نحصل على:

                                      X₃ = a     ,    a₂ = a    ,    x₁ = -2a

عليه فإن المتجهات الذاتية المرافقة لــ 1= λهي متجهات غير صفرية وبالشكل:

لهذا أصبح لدينا ثلاث متجهات هي الأساس وعليه فإن A قابلة للأقطرة

مثال(3):

أوجد P التي تؤقطر 

القيم الذاتية لــA  هي: والمتجهات الذاتية المرافقة والمستقلة خطياً هي:

مبرهنة (1-3):

لتكن v_n, … v₂, v₁

           متجهات ذاتية للمصفوفة A المترافقة مع القيم الذاتية  فإن v_n, …, v₂, v₁ مستقلة خطياً.

البرهان:

1. نفرض m =2

بضرب طرفي المعادلة (5) بالمصفوفة A نحصل على:

2. نفرض أن المبرهنة صحيحة عندما m = k (بمعنى أن k من المتجهات الذاتية، مستقلة خطياً).

3. الآن نفرض m = k + 1

إذن c₁ = c₂ = …. c_k

وهذا يعني أن c_k+1 = 0

مبرهنة (1-4):

إذا كانت v_n ,… , v₂, v₁ متجهات ذاتية مرافقة للقيم الذاتية  فإن A قابلة للأقطرة.

البرهان:

بما أن v_n , …. , v₂, v₁ متجهات ذاتية فإن مبرهنة (7-2-3) تبين لنا أن v_n , …. , v₂, v₁ مستقلة خطياً. لذا فإن A قابلة للأقطرة حسب مبرهنة (1-2).

حساب قوى المصفوفة A:

لتكن A مصفوفة سعتها n x n و P مصفوفة قابلة للانعكاس فإن:

مثال(4):

أوجد A¹⁰ حيث 

الحل:

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

بيان صادر عن العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة تدريبية عن الهندسة النفسية لملاكاته

تضررت في الانتفاضة الشعبانية.. الكشف عن قطع تاريخية من الإيوان الذهبي لمرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الصناعات ينهي أعمال صيانة منظومة التهوية في مجمع أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

عادات يومية تدمر قلبك بصمت.. خبراء يطلقون التحذير

خبراء تغذية يكشفون "أفضل وقت لتناول الإفطار"

أطعمة تزيد فرص وفاة مرضى السرطان 60 بالمئة.. ما هي؟

اختبار ثوري جديد يكشف مبكرا عن سرطان البنكرياس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الذكور أم الإناث؟ دراسة "تنسف الشائع" بشأن التوحد

خبير يكشف عن اقتراب العلماء من فك شفرات "لغات الحيوانات" !

دراسة تدفعك لشراء ساعة ذكية "فورا".. هذا ما تقوله عن قلبك

علماء حاصلون على "نوبل": الذكاء الاصطناعي لن يستبدل الإنسان

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي