سنعمم في هذا البند المفاهيم الواردة في التحويلات الخطية T=Rⁿ⟶R^m على التحويلات الخطية العامة.

تعريف (1-1):

يقال التحويلة T:V⟶W بأنها متباينة وتكتب (1,-1) او (one – to – one)، إذا كان كل متجه في المدى W هو صورة لمتجه واحد فقط في المنطلق V.

يمكن التعبير عن خاصية التباين جبرياً بالشكل:

إذا كانت T(v₁) = T(v₂) فإن v₁ = v₂ لكل V∊,v₂ v₁.

خواص التحويلات الخطية T:V⟶W

لتكن T:V⟶W تحويلة خطية فإن الخواص الآتية متكافئة:

1. متباينةT .

2. نواة T تحتوي على المتجه الصفري فقط. أي انها تحتوي على المتجه الصفري فقط. أي أن Ker T = 0

3. صفري T تساوي صفر. أي null (T) = 0

من السهولة برهان أن الخواص الثلاثة متكافئة. فإذ فرضنا أن T متباينة  و v∊ker T فإن      T(v) = 0 ولكن T(0) = 0 فإن v = 0 (لأن T متباينة) وعليه فإن نواة T تتكون من عنصر واحد هو العنصر الصفري [أي {0} Ker T =].

نفرض الآن أن Ker T = 0 و T(v₁) = T(v₂)

T(v₁) – T(v₂) = T(v₁ – v₂) [لأن Ker T ∊v₁,v₂]

إذن T(v₁ - v₂) = 0

عليه T v1-v2∊ker ومن هذا نستنتج أن T متباينة.

إذن (1) تكافئ (2) تكافئ (1).

نفرض (2) صحيحة. أي، Ker (T) = 0.

لما كان Ker T تحتوي على العنصر الصفري فإن بعد صفرية T يساوي صفر.

والآن نفرض (3) صحيحة. أي، صفرية T

 تساوي صفر، بمعنى آخر

Null (T) = 0 لذا فإن بعد نواة T يساوي صفر.

عليه فإن Ker (T) يحتوي فقط على المتجه الصفري.

مثال(1):

أوجد بعد المدى وبعد نواة T_A

الحل:

الشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة A هي:

لإيجاد null (A) يجب أن نوجد بعد فضاء الحل للنظام الخطي المتجانس AX = 0 وبحل هذا النظام باختزال المصفوفة الممتدة للشكل المدرج السفي المختزل، سنحصل على المعادلات الآتية:

وبحل المعادلات أعلاه سنحصل على الحل العام للنظام وهو:

إذن المتجهات الأربعة هي أساس فضاء الحل. لذا فإن rank (A) = 2  و  null(A) = 4 وبموجب المبرهنة (6-2-3) فإن rank (T_A) = 2  و  null (T_A) = 4

مثال(2):

فإن T_A ليست متباينة لأن A غير قابلة للانعكاس وذلك لأن محددها يساوي صفر لكون الصفين الأول والثاني أحدهما مضروب الآخر.

معكوس التحويلة الخطية العامة:

سبق وأن عرفنا معكوس العملية الخطية المتباينة Rⁿ⟶T_A:Rⁿ. ولاحظنا أنه إذا كانت W هي صورة v تحت تأثير T_A فإن T_A-1 تعيد صورة w إلى v. سنحاول تعميم هذه الأفكار على العمليات الخطية العامة.

فإذا كانت T:V⟶W تحويلة خطية فإن مدى T هو فضاء جزئي من W يتكون من جميع صور المتجهات في V تحت تأثير T. إذا كانت T متباينة فإن كل متجه v في V يمتلك صورة وحيدة w = T(v) في مدى T.  وحدانية الصورة هذه تساعدنا في تعريف معكوس T، يكتب T^-1، التي تعيد الصور w إلى v، لاحظ الشكل (8-4).

                                                                                 شكل (1-1)

مثال(3) :

لتكن  تحويلة خطية معرفة بالشكل:

حيث P(x) متعددة حدود من الدرجة n أوجد T^-1

الحل:

واضح أن T متباينة وعليه فإن T لها معكوس. كذلك:

مثال(4):

إذا كان R³⟶T:R³. تحويلة خطية معرفة بالشكل

الحل:

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

بيان صادر عن العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة تدريبية عن الهندسة النفسية لملاكاته

تضررت في الانتفاضة الشعبانية.. الكشف عن قطع تاريخية من الإيوان الذهبي لمرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الصناعات ينهي أعمال صيانة منظومة التهوية في مجمع أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

عادات يومية تدمر قلبك بصمت.. خبراء يطلقون التحذير

خبراء تغذية يكشفون "أفضل وقت لتناول الإفطار"

أطعمة تزيد فرص وفاة مرضى السرطان 60 بالمئة.. ما هي؟

اختبار ثوري جديد يكشف مبكرا عن سرطان البنكرياس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الذكور أم الإناث؟ دراسة "تنسف الشائع" بشأن التوحد

خبير يكشف عن اقتراب العلماء من فك شفرات "لغات الحيوانات" !

دراسة تدفعك لشراء ساعة ذكية "فورا".. هذا ما تقوله عن قلبك

علماء حاصلون على "نوبل": الذكاء الاصطناعي لن يستبدل الإنسان

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي