There are at least two statements which go by the name of Artin's conjecture.

If  is any complex finite-dimensional representation of the absolute Galois group of a number field, then Artin showed how to associate an -series  with it. These -series directly generalize zeta functions and Dirichlet -series, and as a result of work by Richard Brauer,  is known to extend to a meromorphic function on the complex plane. Artin's conjecture predicts that it is in fact holomorphic, i.e., has no poles, with the possible exception of a pole at (Artin 1923/1924). Compare with the generalized Riemann hypothesis, which deals with the locations of the zeros of certain -series.

The second conjecture states that every integer not equal to  or a square number is a primitive root modulo  for infinitely many  and proposes a density for the set of such  which are always rational multiples of a constant known as Artin's constant. There is an analogous theorem for functions instead of numbers which has been proved by Billharz (Shanks 1993, p. 147).

REFERENCES:

Artin, E. "Über eine neue Art von -Reihen." Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 3, 89-108, 1923/1924.

Matthews, K. R. "A Generalization of Artin's Conjecture for Primitive Roots." Acta Arith. 29, 113-146, 1976.

Moree, P. "A Note on Artin's Conjecture." Simon Stevin 67, 255-257, 1993.

Ram Murty, M. "Artin's Conjecture for Primitive Roots." Math. Intell. 10, 59-67, 1988.

Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 31, 80-83, and 147, 1993.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الطبية يقدم الخدمات الصحية والعلاجية لزائري مدينة سامراء

العتبة العباسية المقدسة تقدم خدماتها لزائري مرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام) في سامراء

المجمَع العلمي ووفد وزارة التربية يبحثان سبل التعاون المشترك

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 192 من مجلة الرياحين للأطفال

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد