A sequence of approximations  to  can be derived by factoring

(1)

(where  is possible only if  is a quadratic residue of ). Then

(2)

(3)

and

			(4)
			(5)
			(6)

Therefore,  and  are given by the recurrence relations

			(7)
			(8)

with . The error obtained using this method is

(9)

The first few approximants to  are therefore given by

(10)

This algorithm is sometimes known as the Bhaskara-Brouncker algorithm, and the approximants are precisely those obtained by taking successive convergents to the continued fraction of . The fact that if  is an approximation to , then  is a better one (the  case) was known to Theon of Smyrna in the second century AD (Wells 1986, p. 35).

Another general technique for deriving this sequence, known as Newton's iteration, is obtained by letting . Then , so the sequence

(11)

converges quadratically to the root. The first few approximants to  are therefore given by

(12)

Wolfram's iteration provides a method for finding square roots of integers using the binary representation.

REFERENCES:

Flannery, S. and Flannery, D. In Code: A Mathematical Journey. London: Profile Books, p. 132, 2000.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, pp. 34-35, 1986.

Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1168, 2002.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجموعة العميد التربوية تعقد اجتماعًا لمناقشة الاستعدادات الخاصة بالموسم التدريبي الصيفي

قسم الإعلام ينظم ورشة تدريبية حول تطبيق (إعلامي) لعدد من منتسبي قسم حفظ النظام

قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة لتنظيف الشوارع المحيطة بصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

وفد العتبة العباسية المقدسة يزور شعبة الإعداد البدني للاطّلاع على برنامج تأهيل المنتسبين الجدد

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث إذا تناولنا الطعام مرة واحدة فقط في اليوم

اكتشاف عوامل خطر غير متوقعة لمرض الكبد الدهني

فيروس هانتا والسفينة الموبوءة.. تحديث من الصحة العالمية

طبيب يحسم الجدل السجائر الإلكترونية وعلاقتها بالسرطان

المزيد

الآخبار التكنلوجية

لأول مرة في الولايات المتحدة.. تشغيل مفاعل مصغر نووي يغذي الذكاء الاصطناعي بالطاقة

الكشف عن تفاصيل أول عملية ناجحة لاستعادة انتاج الحيوانات المنوية

أطلس يكشف خفايا الجسم البشري بدقة أرفع بـ50 مرة من شعر الإنسان

المتحف المصري الكبير يتحول إلى "أيقونة خضراء" بدعم ياباني

المزيد