The series

(1)

for  an integer other than 0 and .  and the related series

(2)

which is a q-analog of the natural logarithm of 2, are irrational for  a rational number other than 0 or  (Guy 1994). In fact, Amdeberhan and Zeilberger (1998) showed that the irrationality measures of both  and  are 4.80, improving the value of 54.0 implied by Borwein (1991, 1992).

Amdeberhan and Zeilberger (1998) also show that the -harmonic series and q-analog of  can be written in the more quickly converging forms

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

where  is a q-binomial coefficient and  is a -Pochhammer symbol.

REFERENCES:

Amdeberhan, T. and Zeilberger, D. "q-Apéry Irrationality Proofs by q-WZ Pairs." Adv. Appl. Math. 20, 275-283, 1998.

Borwein, P. B. "On the Irrationality of ." J. Number Th. 37, 253-259, 1991.

Borwein, P. B. "On the Irrationality of Certain Series." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 112, 141-146, 1992.

Breusch, R. "Solution to Problem 4518." Amer. Math. Monthly 61, 264-265, 1954.

Erdős, P. "On Arithmetical Properties of Lambert Series." J. Indian Math. Soc. 12, 63-66, 1948.

Erdős, P. "On the Irrationality of Certain Series: Problems and Results." In New Advances in Transcendence Theory (Ed. A. Baker). Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 102-109, 1988.

Erdős, P. and Kac, M. "Problem 4518." Amer. Math. Monthly 60, 47, 1953.

Guy, R. K. "Some Irrational Series." §B14 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York:Springer-Verlag, p. 69, 1994.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد