The -binomial coefficient is a q-analog for the binomial coefficient, also called a Gaussian coefficient or a Gaussian polynomial. A -binomial coefficient is given by

(1)

where

(2)

is a q-series (Koepf 1998, p. 26). For ,

(3)

where  is a q-factorial (Koepf 1998, p. 30). The -binomial coefficient can also be defined in terms of the q-brackets  by

{product_(i=1)^(k)([n-i+1]_q)/([i]_q) for 0<=k<=n; 0 otherwise. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/NumberedEquation4.gif" style="height:72px; width:229px" />

(4)

The -binomial is implemented in the Wolfram Language as QBinomial[n, m, q].

For , the -binomial coefficients turn into the usual binomial coefficient.

The special case

(5)

is sometimes known as the q-bracket.

The -binomial coefficient satisfies the recurrence equation

(6)

for all  and , so every -binomial coefficient is a polynomial in . The first few -binomial coefficients are

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

From the definition, it follows that

(11)

Additional identities include

			(12)
			(13)

The -binomial coefficient  can be constructed by building all -subsets of {1,2,...,n}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline37.gif" style="height:14px; width:69px" />, summing the elements of each subset, and taking the sum

(14)

over all subset-sums  (Kac and Cheung 2001, p. 19).

The -binomial coefficient  can also be interpreted as a polynomial in  whose coefficient  counts the number of distinct partitions of  elements which fit inside an  rectangle. For example, the partitions of 1, 2, 3, and 4 are given in the following table.

	partitions
0	{}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline46.gif" style="height:14px; width:10px" />
1	{{1}}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline47.gif" style="height:14px; width:27px" />
2	{{2},{1,1}}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline48.gif" style="height:14px; width:67px" />
3	{{3},{2,1},{1,1,1}}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline49.gif" style="height:14px; width:122px" />
4	{{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline50.gif" style="height:14px; width:232px" />

Of these, {}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline51.gif" style="height:14px; width:10px" />, {1}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline52.gif" style="height:14px; width:17px" />, {2}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline53.gif" style="height:14px; width:17px" />, {1,1}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline54.gif" style="height:14px; width:32px" />, {2,1}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline55.gif" style="height:14px; width:32px" />, and {2,2}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline56.gif" style="height:14px; width:32px" /> fit inside a  box. The counts of these having 0, 1, 2, 3, and 4 elements are 1, 1, 2, 1, and 1, so the (4, 2)-binomial coefficient is given by

(15)

as above.

REFERENCES:

Gasper, G. and Rahman, M. Basic Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Kac, V. Cheung, P. Quantum Calculus. New York:Springer-Verlag, 2001.

Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "The q-Gamma Function and the q-Binomial Coefficient." §0.3 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 10-11, 1998.

Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 26, 1998.a

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد