There are two kinds of Bell polynomials.

A Bell polynomial , also called an exponential polynomial and denoted  (Bell 1934, Roman 1984, pp. 63-67) is a polynomial  that generalizes the Bell number  and complementary Bell number  such that

			(1)
			(2)

These Bell polynomial generalize the exponential function.

Bell polynomials should not be confused with Bernoulli polynomials, which are also commonly denoted .

Bell polynomials are implemented in the Wolfram Language as BellB[n, x].

The first few Bell polynomials are

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

(OEIS A106800).

{B_n(x)}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BellPolynomial/Inline34.gif" style="height:14px; width:43px" /> forms the associated Sheffer sequence for

(10)

so the polynomials have that exponential generating function

(11)

Additional generating functions for  are given by

(12)

or

(13)

with , where  is a binomial coefficient.

The Bell polynomials  have the explicit formula

(14)

where  is a Stirling number of the second kind.

A beautiful binomial sum is given by

(15)

where  is a binomial coefficient.

The derivative of  is given by

(16)

so  satisfies the recurrence equation

(17)

The second kind of Bell polynomials  are defined by

They have generating function

(18)

REFERENCES:

Bell, E. T. "Exponential Polynomials." Ann. Math. 35, 258-277, 1934.

Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 133, 1974.

Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, pp. pp. 35-38, 49, and 142, 1980.

Roman, S. "The Exponential Polynomials" and "The Bell Polynomials." §4.1.3 and §4.1.8 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 63-67 and 82-87, 1984.

Sloane, N. J. A. Sequence A106800 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجموعة العميد التربوية تعقد اجتماعًا لمناقشة الاستعدادات الخاصة بالموسم التدريبي الصيفي

قسم الإعلام ينظم ورشة تدريبية حول تطبيق (إعلامي) لعدد من منتسبي قسم حفظ النظام

قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة لتنظيف الشوارع المحيطة بصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

وفد العتبة العباسية المقدسة يزور شعبة الإعداد البدني للاطّلاع على برنامج تأهيل المنتسبين الجدد

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث إذا تناولنا الطعام مرة واحدة فقط في اليوم

اكتشاف عوامل خطر غير متوقعة لمرض الكبد الدهني

فيروس هانتا والسفينة الموبوءة.. تحديث من الصحة العالمية

طبيب يحسم الجدل السجائر الإلكترونية وعلاقتها بالسرطان

المزيد

الآخبار التكنلوجية

لأول مرة في الولايات المتحدة.. تشغيل مفاعل مصغر نووي يغذي الذكاء الاصطناعي بالطاقة

الكشف عن تفاصيل أول عملية ناجحة لاستعادة انتاج الحيوانات المنوية

أطلس يكشف خفايا الجسم البشري بدقة أرفع بـ50 مرة من شعر الإنسان

المتحف المصري الكبير يتحول إلى "أيقونة خضراء" بدعم ياباني

المزيد