تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Wilf-Zeilberger Pair
المؤلف:
Amdeberhan, T. and Zeilberger, D.
المصدر:
"Hypergeometric Series Acceleration via the WZ Method." Electronic J.
الجزء والصفحة:
...
22-6-2019
2927
+
-
20
Wilf-Zeilberger Pair
A pair of closed form functions 
is said to be a Wilf-Zeilberger pair if
 |
(1) |
The Wilf-Zeilberger formalism provides succinct proofs of known identities and allows new identities to be discovered whenever it succeeds in finding a proof certificate for a known identity. However, if the starting point is an unknown hypergeometric sum, then the Wilf-Zeilberger method cannot discover a closed form solution, while Zeilberger's algorithm can.
Wilf-Zeilberger pairs are very useful in proving hypergeometric identities of the form
 |
(2) |
for which the addend 
vanishes for all 
outside some finite interval. Now divide by the right-hand side to obtain
 |
(3) |
where
 |
(4) |
Now use a rational function 
provided by Zeilberger's algorithm, define
 |
(5) |
The identity (◇) then results. Summing the relation over all integers then telescopes the right side to 0, giving
 |
(6) |
Therefore, 
is independent of 
, and so must be a constant. If 
is properly normalized, then it will be true that 
.
For example, consider the binomial coefficient identity
 |
(7) |
the function 
returned by Zeilberger's algorithm is
 |
(8) |
Therefore,
 |
(9) |
and
 |
 |
 |
(10) |
 |
 |
 |
(11) |
 |
 |
 |
(12) |
 |
 |
 |
(13) |
Taking
 |
(14) |
then gives the alleged identity
 |
(15) |
Expanding and evaluating shows that the identity does actually hold, and it can also be verified that
|
(16) |
so 
(Petkovšek et al. 1996, pp. 25-27).
For any Wilf-Zeilberger pair 
,
![sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=1)^infty[F(n,n-1)+G(n-1,n-1)]](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Wilf-ZeilbergerPair/NumberedEquation13.gif) |
(17) |
whenever either side converges (Zeilberger 1993). In addition,
![sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=0)^infty[F(s(n+1),n)+sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,n)]
-lim_(n->infty)sum_(k=0)^(n-1)F(sn,k)](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Wilf-ZeilbergerPair/NumberedEquation14.gif) |
(18) |
 |
(19) |
and
![sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=0)^infty[sum_(j=0)^(t-1)F(s(n+1),tn+j)+sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,tn)]-lim_(n->infty)sum_(k=0)^(n-1)F_(s,t)(n,k),](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Wilf-ZeilbergerPair/NumberedEquation16.gif) |
(20) |
where
 |
 |
 |
(21) |
 |
 |
 |
(22) |
(Amdeberhan and Zeilberger 1997). The latter identity has been used to compute Apéry's constant to a large number of decimal places (Wedeniwski).
REFERENCES:
Amdeberhan, T. and Zeilberger, D. "Hypergeometric Series Acceleration via the WZ Method." Electronic J. Combinatorics 4, No. 2, R3, 1-3, 1997. http://www.combinatorics.org/Volume_4/Abstracts/v4i2r3.html. Also available at http://www.math.temple.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/accel.html.
Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. "The Wilf-Zeilberger Algorithm." §3.1 in Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 53-55, 2007.
Cipra, B. A. "How the Grinch Stole Mathematics." Science 245, 595, 1989.
Koepf, W. "Algorithms for 
-fold Hypergeometric Summation." J. Symb. Comput. 20, 399-417, 1995.
Koepf, W. "The Wilf-Zeilberger Method." Ch. 6 in Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 80-92, 1998.
Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. "The WZ Phenomenon." Ch. 7 in A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 121-140, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.
Wedeniwski, S. "
Digits of Zeta(3)." http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.
Wilf, H. S. and Zeilberger, D. "Rational Functions Certify Combinatorial Identities." J. Amer. Math. Soc. 3, 147-158, 1990.
Zeilberger, D. "The Method of Creative Telescoping." J. Symb. Comput. 11, 195-204, 1991.
Zeilberger, D. "Closed Form (Pun Intended!)." Contemporary Math. 143, 579-607, 1993.
الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
مواضيع ذات صلة
قسم الشؤون الفكرية يصدر كتاباً يوثق تاريخ السدانة في العتبة العباسية المقدسة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
