A function  which is one of the solutions to the modified Bessel differential equation and is closely related to the Bessel function of the first kind . The above plot shows  for , 2, ..., 5. The modified Bessel function of the first kind is implemented in the Wolfram Language as BesselI[nu, z].

The modified Bessel function of the first kind  can be defined by the contour integral

(1)

where the contour encloses the origin and is traversed in a counterclockwise direction (Arfken 1985, p. 416).

In terms of ,

(2)

For a real number , the function can be computed using

(3)

where  is the gamma function. An integral formula is

(4)

which simplifies for  an integer  to

(5)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 376).

A derivative identity for expressing higher order modified Bessel functions in terms of  is

(6)

where  is a Chebyshev polynomial of the first kind.

The special case of  gives  as the series

(7)

REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Modified Bessel Functions  and ." §9.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 374-377, 1972.

Arfken, G. "Modified Bessel Functions,  and ." §11.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 610-616, 1985.

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Bessel Functions of Fractional Order, Airy Functions, Spherical Bessel Functions." §6.7 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 234-245, 1992.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Hyperbolic Bessel Functions  and " and "The General Hyperbolic Bessel Function ." Chs. 49-50 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 479-487 and 489-497, 1987.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجموعة العميد التربوية تعقد اجتماعًا لمناقشة الاستعدادات الخاصة بالموسم التدريبي الصيفي

قسم الإعلام ينظم ورشة تدريبية حول تطبيق (إعلامي) لعدد من منتسبي قسم حفظ النظام

قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة لتنظيف الشوارع المحيطة بصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

وفد العتبة العباسية المقدسة يزور شعبة الإعداد البدني للاطّلاع على برنامج تأهيل المنتسبين الجدد

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث إذا تناولنا الطعام مرة واحدة فقط في اليوم

اكتشاف عوامل خطر غير متوقعة لمرض الكبد الدهني

فيروس هانتا والسفينة الموبوءة.. تحديث من الصحة العالمية

طبيب يحسم الجدل السجائر الإلكترونية وعلاقتها بالسرطان

المزيد

الآخبار التكنلوجية

لأول مرة في الولايات المتحدة.. تشغيل مفاعل مصغر نووي يغذي الذكاء الاصطناعي بالطاقة

الكشف عن تفاصيل أول عملية ناجحة لاستعادة انتاج الحيوانات المنوية

أطلس يكشف خفايا الجسم البشري بدقة أرفع بـ50 مرة من شعر الإنسان

المتحف المصري الكبير يتحول إلى "أيقونة خضراء" بدعم ياباني

المزيد