1

x

هدف البحث

بحث في العناوين

بحث في اسماء الكتب

بحث في اسماء المؤلفين

اختر القسم

القرآن الكريم
الفقه واصوله
العقائد الاسلامية
سيرة الرسول وآله
علم الرجال والحديث
الأخلاق والأدعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الجغرافية
الادارة والاقتصاد
القانون
الزراعة
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الهندسة المدنية
الأعلام
اللغة الأنكليزية

موافق

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

الرياضيات : التحليل : التحليل العقدي :

Residue Theorem

المؤلف:  Knopp, K.

المصدر:  "The Residue Theorem." §33 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover,

الجزء والصفحة:  ...

18-12-2018

1043

Residue Theorem

An analytic function f(z) whose Laurent series is given by

 f(z)=sum_(n=-infty)^inftya_n(z-z_0)^n,

(1)

can be integrated term by term using a closed contour gamma encircling z_0,

int_gammaf(z)dz = sum_(n=-infty)^(infty)a_nint_gamma(z-z_0)^ndz

(2)

= sum_(n=-infty)^(-2)a_nint_gamma(z-z_0)^ndz+a_(-1)int_gamma(dz)/(z-z_0)+sum_(n=0)^(infty)a_nint_gamma(z-z_0)^ndz.

(3)

The Cauchy integral theorem requires that the first and last terms vanish, so we have

 int_gammaf(z)dz=a_(-1)int_gamma(dz)/(z-z_0),

(4)

where a_(-1) is the complex residue. Using the contour z=gamma(t)=e^(it)+z_0 gives

 int_gamma(dz)/(z-z_0)=int_0^(2pi)(ie^(it)dt)/(e^(it))=2pii,

(5)

so we have

 int_gammaf(z)dz=2piia_(-1).

(6)

If the contour gamma encloses multiple poles, then the theorem gives the general result

 int_gammaf(z)dz=2piisum_(a in A)Res_(z=a_i)f(z),

(7)

where A is the set of poles contained inside the contour. This amazing theorem therefore says that the value of a contour integral for any contour in the complex plane depends only on the properties of a few very special points insidethe contour.

ResidueTheorem

The diagram above shows an example of the residue theorem applied to the illustrated contour gamma and the function

 f(z)=3/((z-1)^2)+2/(z-i)-2/(z+i)+i/(z+3-2i)+5/(z+1+2i).

(8)

Only the poles at 1 and i are contained in the contour, which have residues of 0 and 2, respectively. The values of the contour integral is therefore given by

 int_gammaf(z)dz=2pii(0+2)=4pii.

(9)


 

REFERENCES:

Knopp, K. "The Residue Theorem." §33 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 129-134, 1996.

Krantz, S. G. "The Residue Theorem." §4.4.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 48-49, 1999.