1

x

هدف البحث

بحث في العناوين

بحث في اسماء الكتب

بحث في اسماء المؤلفين

اختر القسم

القرآن الكريم
الفقه واصوله
العقائد الاسلامية
سيرة الرسول وآله
علم الرجال والحديث
الأخلاق والأدعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الجغرافية
الادارة والاقتصاد
القانون
الزراعة
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الهندسة المدنية
الأعلام
اللغة الأنكليزية

موافق

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

الرياضيات : التحليل : التحليل العقدي :

Complex Residue

المؤلف:  المرجع الالكتروني للمعلوماتيه

المصدر:  المرجع الالكتروني للمعلوماتيه

الجزء والصفحة:  ...

18-12-2018

612

Complex Residue

 

The constant a_(-1) in the Laurent series

 f(z)=sum_(n=-infty)^inftya_n(z-z_0)^n

(1)

of f(z) about a point z_0 is called the residue of f(z). If f is analytic at z_0, its residue is zero, but the converse is not always true (for example, 1/z^2 has residue of 0 at z=0 but is not analytic at z=0). The residue of a function f at a point z_0 may be denoted Res_(z=z_0)(f(z)). The residue is implemented in the Wolfram Language as Residue[f{zz0}].

Two basic examples of residues are given by Res_(z=0)1/z=1 and Res_(z=0)1/z^n=0 for n>1.

Residue

The residue of a function f around a point z_0 is also defined by

 Res_(z_0)f=1/(2pii)∮_gammafdz,

(2)

where gamma is counterclockwise simple closed contour, small enough to avoid any other poles of f. In fact, any counterclockwise path with contour winding number 1 which does not contain any other poles gives the same result by the Cauchy integral formula. The above diagram shows a suitable contour for which to define the residue of function, where the poles are indicated as black dots.

It is more natural to consider the residue of a meromorphic one-form because it is independent of the choice of coordinate. On a Riemann surface, the residue is defined for a meromorphic one-form alpha at a point p by writing alpha=fdz in a coordinate z around p. Then

 Res_(p)alpha=Res_(z=p)f.

(3)

The sum of the residues of intfdz is zero on the Riemann sphere. More generally, the sum of the residues of a meromorphic one-form on a compact Riemann surface must be zero.

The residues of a function f(z) may be found without explicitly expanding into a Laurent series as follows. If f(z) has a pole of order m at z_0, then a_n=0 for n<-m and a_(-m)!=0. Therefore,

 f(z)=sum_(n=-m)^inftya_n(z-z_0)^n=sum_(n=0)^inftya_(-m+n)(z-z_0)^(-m+n)

(4)

(z-z_0)^mf(z) = sum_(n=0)^(infty)a_(-m+n)(z-z_0)^n

(5)

d/(dz)[(z-z_0)^mf(z)] = sum_(n=0)^(infty)na_(-m+n)(z-z_0)^(n-1)

(6)

= sum_(n=1)^(infty)na_(-m+n)(z-z_0)^(n-1)

(7)

= sum_(n=0)^(infty)(n+1)a_(-m+n+1)(z-z_0)^n

(8)

(d^2)/(dz^2)[(z-z_0)^mf(z)] = sum_(n=0)^(infty)n(n+1)a_(-m+n+1)(z-z_0)^(n-1)

(9)

= sum_(n=1)^(infty)n(n+1)a_(-m+n+1)(z-z_0)^(n-1)

(10)

= sum_(n=0)^(infty)(n+1)(n+2)a_(-m+n+2)(z-z_0)^n.

(11)

Iterating,

 (d^(m-1))/(dz^(m-1))[(z-z_0)^mf(z)]=sum_(n=0)^infty(n+1)(n+2)...(n+m-1)a_(n-1)(z-z_0)^n 
=(m-1)!a_(-1)+sum_(n=1)^infty(n+1)(n+2)...(n+m-1)a_(n-1)(z-z_0)^(n-1).

(12)

So

lim_(z->z_0)(d^(m-1))/(dz^(m-1))[(z-z_0)^mf(z)] = lim_(z->z_0)(m-1)!a_(-1)+0

(13)

= (m-1)!a_(-1),

(14)

and the residue is

 a_(-1)=1/((m-1)!)(d^(m-1))/(dz^(m-1))[(z-z_0)^mf(z)]_(z=z_0).

(15)

The residues of a holomorphic function at its poles characterize a great deal of the structure of a function, appearing for example in the amazing residue theorem of contour integration.