1

x

هدف البحث

بحث في العناوين

بحث في اسماء الكتب

بحث في اسماء المؤلفين

اختر القسم

القرآن الكريم
الفقه واصوله
العقائد الاسلامية
سيرة الرسول وآله
علم الرجال والحديث
الأخلاق والأدعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الجغرافية
الادارة والاقتصاد
القانون
الزراعة
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الهندسة المدنية
الأعلام
اللغة الأنكليزية

موافق

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

الرياضيات : التحليل : التحليل العقدي :

Wiener-Hopf Method

المؤلف:  Linton, C. M. and McIver, P.

المصدر:  Handbook of Mathematical Techniques for Wave/Structure Interactions. Boca Raton, FL: CRC Press, 2001.

الجزء والصفحة:  ...

16-12-2018

510

Wiener-Hopf Method

The Wiener-Hopf method is a powerful technique which enables certain linear partial differential equations subject to boundary conditions on semi-infinite domains to be solved explicitly. The method is sometimes referred to as the Wiener-Hopf technique or the Wiener-Hopf factorization.

The Wiener-Hopf method begins by applying the generalized upper and lower Fourier transforms to obtain an identity

 A(alpha)Phi_+(alpha)+B(alpha)Psi_-(alpha)+C(alpha)=0

(1)

on a strip

 S={z=sigma+itau:tau_i<tau<tau_+ and -infty<sigma<infty}

(2)

of the complex alpha-plane where alpha=sigma+itau is a complex variable. Note that identity () is in terms of the unknown functions Phi_+=Phi_+(alpha) and Psi_-=Psi_-(alpha) which are analytic in the half-planes tau>tau_- and tau<tau_+, respectively, while A(alpha)B(alpha), and C(alpha) are "parameter functions" in the alpha-plane which are analytic on all of S.

For simplicity, assume that A and B are non-zero in S. The most fundamental step of the Wiener-Hopf process is to find a solution for Phi_+ and Psi_- in () by finding functions K_+(alpha) and K_-(alpha)--analytic and nonzero in tau>tau_- and in tau<tau_+, respectively--so that

 (A(alpha))/(B(alpha))=(K_+(alpha))/(K_-(alpha)).

(3)

Upon doing so, the factorization () can be used to rewrite () as

 K_+(alpha)Phi_+(alpha)+K_-(alpha)Psi_-(alpha)+(K_-(alpha)C(alpha))/(B(alpha))=0,

(4)

whereby the last summand K_-(alpha)C(alpha)/B(alpha) can be decomposed as

 (K_-(alpha)C(alpha))/(B(alpha))=C_+(alpha)+C_-(alpha)

(5)

for C_+, respectively C_-, analytic in the region of S satisfying tau>tau_-, respectively tau<tau_+.

Substituting () into () and rewriting induces a function J=J(alpha) of the form

 J(alpha)=K_+(alpha)Phi_+(alpha)+C_+(alpha)=-K_-(alpha)Psi_-(alpha)-C_-(alpha)

(6)

which, despite being defined only in the strip S, can be defined and made analytic on the entire complex alpha-plane by way of analytic continuation. The idea behind () is to next show the existence of positive integers p,q in Z^+ for which

 |K_+(alpha)Phi_+(alpha)+C_+(alpha)|<|alpha|^p as alpha->infty,tau>tau_-

(7)

and

 |K_-(alpha)Psi_-(alpha)C_-(alpha)|<|alpha|^q as alpha->infty,tau<tau_+,

(8)

whereby Liouville's theorem applies and requires that J=J(alpha) be a polynomial P(alpha) of degree less than or equal to min(p,q). In particular,

 K_+(alpha)Phi_+(alpha)+C_+(alpha)=P(alpha)

(9)

and

 K_-(alpha)Psi_-(alpha)+C_-(alpha)=-P(alpha),

(10)

thus defining Phi_+ and Psi_- to within the arbitrary polynomial P, i.e., to within a finite number of arbitrary constants which must be determined using other methods.

While the Wiener-Hopf method itself is a useful tool for solving various types of partial differential equations, one of its most significant strengths is the vast array of other equation solving methods derived therefrom. Indeed, the techniques spawned from the Wiener-Hopf factorization have proven useful in a number of very different circumstances across a diverse array of disciplines including theoretical and applied physics (Noble 1958), diffraction theory (Linton and McIver 2001), and fluid dynamics (Ho 2007).


REFERENCES:

Ho, J. "The Wiener-Hopf Method and Its Applications in Fluids." 2007. http://www.ms.unimelb.edu.au/publications/HoJuwen.pdf.

Linton, C. M. and McIver, P. Handbook of Mathematical Techniques for Wave/Structure Interactions. Boca Raton, FL: CRC Press, 2001.

Noble, B. Methods Based on the Wiener-Hopf Technique For the Solution of Partial Differential Equations. Belfast, Northern Ireland: Pergamon Press, 1958.