تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Hypercube Line Picking
المؤلف:
Finch, S. R
المصدر:
"Geometric Probability Constants." §8.1 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press
الجزء والصفحة:
...
20-8-2018
3478
+
-
20
Hypercube Line Picking
Let two points 
and 
be picked randomly from a unit 
-dimensional hypercube. The expected distance between the points 
is then
 |
(1) |
This multiple integral has been evaluated analytically only for small values of 
. The case 
corresponds to the line line picking between two random points in the interval ![[0,1]](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HypercubeLinePicking/Inline7.gif)
.
The first few values for 
are given in the following table.
 |
Sloane |  |
| 1 | -- | 0.3333333333... |
| 2 | A091505 | 0.5214054331... |
| 3 | A073012 | 0.6617071822... |
| 4 | A103983 | 0.7776656535... |
| 5 | A103984 | 0.8785309152... |
| 6 | A103985 | 0.9689420830... |
| 7 | A103986 | 1.0515838734... |
| 8 | A103987 | 1.1281653402... |
The function 
satisfies
![1/3n^(1/2)<=Delta(n)<=(1/6n)^(1/2)sqrt(1/3[1+2(1-3/(5n))^(1/2)])](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HypercubeLinePicking/NumberedEquation2.gif) |
(2) |
(Anderssen et al. 1976), plotted above together with the actual values.
M. Trott (pers. comm., Feb. 23, 2005) has devised an ingenious algorithm for reducing the 
-dimensional integral to an integral over a 1-dimensional integrand 
such that
 |
(3) |
The first few values are
 |
 |
 |
(4) |
 |
 |
 |
(5) |
 |
 |
 |
(6) |
 |
 |
 |
(7) |
In the limit as 
, these have values for 
, 2, ... given by 
times 2/3, 6/5, 50/21, 38/9, 74/11, ... (OEIS A103990 and A103991).
This is equivalent to computing the box integral
![Delta_n(s)=s/(Gamma(1-1/2s))int_0^infty(1-[d(u)]^n)/(u^(s+1))du](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HypercubeLinePicking/NumberedEquation4.gif) |
(8) |
where
 |
 |
 |
(9) |
 |
 |
 |
(10) |
(Bailey et al. 2006).
These give closed-form results for 
, 2, 3, and 4:
 |
 |
 |
(11) |
 |
 |
![1/(15)[sqrt(2)+2+5ln(1+sqrt(2))]](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HypercubeLinePicking/Inline41.gif) |
(12) |
 |
 |
![1/(105)[4+17sqrt(2)-6sqrt(3)+21ln(1+sqrt(2))+42ln(2+sqrt(3))-7pi]](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HypercubeLinePicking/Inline44.gif) |
(13) |
 |
 |
 |
(14) |
 |
 |
 |
(15) |
where 
is a Clausen function, 
is Catalan's constant, and
 |
(16) |
The 
case above seems to be published here for the first time; the simplified form given above is due to Bailey et al. (2006). Attempting to reduce 
to quadratures gives closed-form pieces with the exception of the single piece
 |
 |
![pi[1/2ln(2+sqrt(3))-int_0^infty(e^(-2x^2)erf^3(x))/xdx]](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HypercubeLinePicking/Inline57.gif) |
(17) |
 |
 |
 |
(18) |
 |
 |
![int_0^(I[cos^(-1)2])sec^(-1)(2+coshtheta)dtheta](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HypercubeLinePicking/Inline63.gif) |
(19) |
which appears to be difficult to integrate in closed form (Bailey et al. 2007, p. 272).
The value 
obtained for cube line picking is sometimes known as the Robbins constant.
REFERENCES:
Anderssen, R. S.; Brent, R. P.; Daley, D. J.; and Moran, A. P. "Concerning 
and a Taylor Series Method." SIAM J. Appl. Math. 30, 22-30, 1976.
Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E. "Box Integrals." Preprint. Apr. 3, 2006.
Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action.Wellesley, MA: A K Peters, p. 272, 2007.
Finch, S. R. "Geometric Probability Constants." §8.1 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 479-484, 2003.
Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 30, 1983.
Robbins, D. "Average Distance between Two Points in a Box." Amer. Math. Monthly 85, 278, 1978.
Sloane, N. J. A. Sequences A073012, A091505, A103983, A103984, A103985, A103986, A103987, A103988, A103989,A103990, and A103991 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Trott, M. "The Area of a Random Triangle." Mathematica J. 7, 189-198, 1998.
الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
مواضيع ذات صلة
قسم الشؤون الفكرية يصدر كتاباً يوثق تاريخ السدانة في العتبة العباسية المقدسة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
