If  is differentiable at the point  and  is differentiable at the point , then  is differentiable at . Furthermore, let  and , then

(1)

There are a number of related results that also go under the name of "chain rules." For example, if , , and , then

(2)

The "general" chain rule applies to two sets of functions

			(3)
			(4)
			(5)

and

			(6)
			(7)
			(8)

Defining the  Jacobi rotation matrix by

(9)

and similarly for  and , then gives

(10)

In differential form, this becomes

(11)

(Kaplan 1984).

REFERENCES:

Anton, H. "The Chain Rule" and "Proof of the Chain Rule." §3.5 and AIII in Calculus with Analytic Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 165-171 and A44-A46, 1999.

Apostol, T. M. "The Chain Rule for Differentiating Composite Functions" and "Applications of the Chain Rule. Related Rates and Implicit Differentiation." §4.10-4.11 in Calculus, 2nd ed., Vol. 1: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Waltham, MA: Blaisdell, pp. 174-179, 1967.

Kaplan, W. "Derivatives and Differentials of Composite Functions" and "The General Chain Rule." §2.8 and 2.9 in Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 101-105 and 106-110, 1984.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الطبية يقدم الخدمات الصحية والعلاجية لزائري مدينة سامراء

العتبة العباسية المقدسة تقدم خدماتها لزائري مرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام) في سامراء

المجمَع العلمي ووفد وزارة التربية يبحثان سبل التعاون المشترك

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 192 من مجلة الرياحين للأطفال

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد