تردد الحركة التوافقية البسيطة

يعتبر إيجاد تعبير لتردد الحركة التوافقية البسيطة باستعمال حساب التفاضل والتكامل مسألة مباشر تماما.

الشكل ((1: عندما يتحرك الجسيم Q على محيط دائرة نصف قطرها x₀ بسرعة ثابتة المقدار v₀، تتحرك النقطة P حركة توافقية بسيطة من –x₀ ≤ x ≤ x₀ ، ونظراً لأن نصف قطر الدائرة x₀ ، اذن x = x₀ cos θ.

سوف نبدأ بتخيل جسيم Q يتحرك بسرعة v₀ المقدار في دائرة نصف قطرها x₀. هذه الدائرة تسمى دائرة الاسناد، ويمثل الشكل (1) رسما تخطيطيا لهذه الحركة. ويمكن أيضا وصف حركةQ  بأنها حركة ذات سرعة زاوية /Δt = ωθΔ ثابتة تعطى بالعلاقة  = v₀/x₀ω , أن ω تقاس بالزاوية نصف القطرية لكل ثانية . وكلن الدورة T  التي يصنع خلالها الجسيم Q دورة كاملة هي الزمن اللازم للدوران حول الدائرة مرة واحدة ، أو:

إذن ، تردد الحركة f ، أي عدد الدورات لكل ثانية , هو مجرد مقلوب الدورة:

لا حظ في الشكل 1)) أن النقطة p  تمثل موضع مسقط الجسيمQ  على المحور x ، حيث x = x₀ cos θ لأي قيمة للإحداثي x ومعنى ذلك أنه عندما يدور الجسيم q على محيط الدائرة دورة كاملة فإن p تتحرك على استقامة المحور x من يوجد معادلة الى –x ثم تعود الى +x0 بنفس الدورة وبنفس التردد كالجسيم Q تماما وسوف  نثبت الان أن p  تتحرك SHM  .

تعطى العجلة الطاردة المركزية للحركة الدائرة للجسيم Q بالعلاقة:

لاحظ أن هذه العجلة a_c تعمل في اتجاه نصف القطر الى داخل , كما هو مبين بالشكل ( (1وبناء على ذلك فإن العجلة المناظرة للنقطة P تساوي مركبة a_c في اتجاه المحور X:

وتعني الإشارة السالبة أن عجلة النقطة p , أي (p)a تؤثر في الاتجاه السالب للمحور x . إذن ، باستخدام التعبير الخاص بالعجلة الطاردة المركزية a_c والعلاقة معادلة نحصل على:

1))           

حيث w ثابتة . هذا يثبت أن النقطة P تتحرك SHM , وذلك لان العلاقة a = -kx تمثل الصورة العاملة لعجلة الحركة التوافقية البسيطة.

الآن أصبح إيجاد تردد الحركة التوافقية البسيطة عموما مسألة في غاية البساطة ، فبأستعمال المعادلة (1) نجد أن:

حيث k ثابت القوة. وهكذا يمكن تعريف ω كالتالي :

   2))           

إذن , تردد الحركة التوافقية البسيطة للنقطة P  هو:

  (3)            

كما أن دورة الحركة التوافقية البسيطة هو:

          (4)