جمع المتجهات

يعلم كل منا أنه عند إضافة تفاحتين إلى ثلاث تفاحات تكون الكمية الكلية خمس تفاحات . هذا مثال على كيفية جمع الكميات القياسية مجموع كميتين قياسيتين إذن هو ببساطة مجموع مقداريهما ؛ هذا بفرض أن الكميتين لهما نفس الوحدات طبعاً. وبإضافة40cm³  من الماء إلى 20 cm³ من الماء ستحصل على60 cm³؛ أي ان الكميات القياسية هنا أيضاً تجمع جمعاً عددياً .

لكن الكميات المتجهة لا تجمع بهذه الطريقة . وسوف نوضح هذه النقطة أولاً باستخدام الإزاحات  .

الإزاحة من نقطة ما A إلى اخرى B هي كمية متجهة مقدارها طول الخط المستقيم من A إلى B واتجاهاً هو اتجاه سهم يشير من A  إلى B .

لنعتبر ما يحدث عندما تقوم بإزاحة قدرها 30 km تجاه الشرق ثم إزاحة أخرى قدرها 10 km تجاه الشمال كما هو موضح بالشكل التالي. والمطلوب هو إيجاد الإزاحة الكلية الناتجة عن هاتين الإزاحتين , أي الإزاحة من A إلى  C . هذه الإزاحة ،  والممثلة بالسهم R ، تسمى الإزاحة المحصلة وتمثل مجموع متجهي الإزاحة .

رسم اتجاهي يمثل رحلة قطع فيها مسافر 30 km في اتجاه الشرق ثم 10 km باتجاه الشمال.

من الواضح أن الإزاحة المحصلة من A إلى C هي متجه وأن اتجاهها يختلف عن اتجاه أي من الإزاحتين الأصليتين ، كما ان مقدارها ليس30 km +10 km = 40 km بالتأكيد. وبدلاً من ذلك يمكننا أن نجد باستخدام نظرية فيثاغورس أن مقدار الإزاحة المحصلة هو :

هذا المثال يبين لنا أن جمع المتجهات يختلف اختلافاً تاماً عن جمع الكميات القياسية .

كثيراً ما يكون لإتجاه المتجه المصل نفس أهمية مقداره. وإحدى الطرق لإيجاد الاتجاه هي قياس الزاوية θ في الشكل اعلاه بالمنقلة . وإذا كان الرسم دقيقاً طبقاً لمقياس الرسم المختار سنجد ان 18^o = θ وهكذا يمكننا القول أن الإزاحة المحصلة  32 km في اتجاه شمال الشرق بزاوية 18^o.