-2-2-1- طريقة السيمبلكس The Simplex Method  
تعد طريقة السيمبلكس أسلوباً متطوراً لحل مسائل البرمجة الخطية التي تتكون من أكثر من متغيرين وهي طريقة مشابهة للطريقة الجبرية المستخدمة لحل جملة المعادلات الخطية مع اختلاف بسيط، وهو أن المعادلات الخطية للمسألة موضوع الحل تكتب على شكل جدول. وتعتمد طريقة السيمبلكس على البداية بإحدى ذروات منطقة الحل ، والتي تعطي لدالة الهدف قيمة معينة ( هـ 1) وبعدها ننتقل إلى ذروة  أخرى تعطي قيمة أفضل لدالة الهدف (هـ 2) وهكذا حتى نصل إلى أقصى قيمة لـ          ( هـ Max) وذلك في حالة التعظيم (الأرباح) . أما في حالة التقليل (التكاليف) فالقيمة الأفضل هي الاقل Min. وهذه الطريقة تستخدم في حالة مسائل التعظيم (الربح) ، وفي مسائل التقليل (التكاليف). ولتوضيح هذه الطريقة سوف نأخذ مثال على كل نوع من المسائل ونستعرض خطوات الحل :   
2-1 مسائل تعظيم الربح Max  
مثال( 3-4)  
لدينا تابع الهدف (تعظيم الاباح) 
   
المطلوب : 
إيجاد قيمة كل المجاهيل س₁ ، س₂  التي تجعل الربح أكبر ما يمكن  

طريقة الحل : 

ج- اختيار المتغير الداخل (المتغير الأساسي الجديد) الذي يضيف أقصى ربح في  الوحدة، ويكون المتغير المقابل لأعلى قيمة موجبة في الصف ( ر ، هـ). وطالما هناك قيماً موجبة في هذا السطر، فهذا يعني أن هناك إمكانية زيادة الربح. وفي مثالنا فإن المتغير الداخل هو (س (1) المقابل للقيمة الموجبة (6) في الصف (ر، هـ)، والعامود هنا هو العامود الرئيسي الذي يحقق أكبر عائد. 
ملاحظة : في حالة كان في هذا السطر أكثر من قيمة موجبة متساوية فإننا نختار أي من المتغيرات المقابلة لهذه القيم وجعله متغيراً داخلاً.
د ـ اختيار المتغير الخارج (المتغير غير الاساسي) وتمثل بالصف الذي يحوي أقل قيمة نتيجة لقسمة الثوابت  (عمود ث) على المعاملات ذات القيم العددية التي تقع  تحت عامود المتغير الداخل، مع إهمال المعاملات ذات القيم السالبة أو الصفرية (القسمة فقط على المعاملات الموجبة)، أي قسمة عامود (ث) على عامود (س1).
  
إذاً المتغير الداخل (س)، وتصبح المتغيرات الأساسية ( س1 ، م1 ) ، والمتغيرات غير الأساسية هي (س2، م2). 
هـ - نحسب المعادلة المحورية (الصف الممهد) وذلك بقسمة جميع القيم في صف المتغير الخارج على قيمة العنصر - المحوري (عنصر – الدوران)، وينتج عنه سطر الصف الداخل، وهو هنا : 
  
ونحسب تأثير المتغير الداخل على باقي المتغيرات الأساسية، أي تأثير (س1) عـلـى كـل مـن صف (م1) ، وعلى صف ،(هـ)، وعلى صف ( ر - هـ)، وذلك على الشكل التالي :
الصف الجديد (م1) = عناصر الصف القديم (م1) مقلوب + (العنصر - المتقاطع في الصف القديم مع عامود المتغير الداخل (س) × العناصر المتناظرة في الصف الجديد).
العنصر المتقاطع (م2) مع س1 = 2/1 وحاصل ضربه مع الصف الممهد هو: 
  
2 ـ نضع عناصر السطر الممهد (س1)  والصف الجديد م1 في جدول السيمبلكس الثاني ، ثم نحسب (هـ) و (ر ــ هـ) 
   
ثم حساب (هـ) على الشكل التالي :
  
هـ ـ  نكرر الخطوات السابقة اعتباراً من (ج) وذلك في حالة كان هناك في صف  (ر-هـ) قيماً موجبة، وإلا فإن الحل هو الأمثل، ونلاحظ أنه لا يوجد قيم موجبة في صف ( ر - هـ) في مثالنا لذلك فإن الحل هو الأمثل، وبالتالي فإن قيمة المجاهيل هي: س1 = 14، س2= p، م1= 16. وبتعويض هذه القيم في تابع الهدف                          هـ = 6س₁ + 2س₂  
نحصل على الحل النهائي.
هـ = 6 × 14 + 2 × 0 = 84  
إذاً الحل صحيح.