دوال كثيرات الحدود والدوال الكسرية :     

POLYNOMIALS AND RATIONAL FUNCTIONS                      

كثيرات الحدود : Polynomials

تسمى كثيرات الحدود من الدرجة n الدالة من الصيغة التالية :

مثال : ليكن كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

الدوال الكسرية : Rational Functions

تسمى الدالة الكسرية الدالة من الشكل :

                                      R(x) = P(x) / Q(x)

حيث إن كلاً من P(x) ، و Q(x) كثيرات الحدود.

مثال : لتكن الدالة الكسرية التالية :

                                                R(x) = (4-2x) / (2x + 3x²)

ملاحظة : كل دالة كثير حدود هي مستمرة على مجموعة الأعداد الحقيقية R ، وأما الدالة الكسرية فهي مستمرة على R ، ما عدا النقاط التي تجعل المقام معدوماً.

مثال (1) : لتكن لدينا الدالة :

حدد مناطق الاستمرارية : ومناطق عدم الاستمرارية للدالة f .

الحل : يتضح من المقام وقانون الدالة الكسرية ، ان الدالة معرفة على كل مجموعة الأعداد الحقيقية IR ما عدا x = 1 , x = -1.

مثال (2) : لتكن لدينا الدالة :

الحل :

يتضح من المقام وقانون الدالة الكسرية، أن الدالة معرفة على كل مجموعة الأعداد الحقيقية R ، ما عدا قيم حلول المعادلة x³ – 7x + 6 = 0. نلاحظ أن قيمة X = 1 هو حل ظاهري للمعادلة. ومن خلال استخدام أسلوب القسمة ينتج :

ومن خلال هذه التجزئة ينتج  لدينا أن مجموع التعريف هي كل الأعداد الحقيقية ما عدا x = 2 ، x = 1 ، x = -3 ، ونكتب 

مثال (3) : لتكن لدينا الدالة :

الحل :

لتوضيح الحل، نقوم برسم منحنى الدالة، والذي هو كما يلي:

شكل (1-1)

لأنه عندما يكون .، فإن عليه يصبح وعندما يكون ............. أو ........... فإن عليه يصبح ومنه تصبح قيمة الدالة f(x) = -1 أي أنها ثابتة . ويتضح من المقام والشكل أن الدالة غير مستمرة فقط عند القيم X = 1 ، وx = -1 . إذن مجموعة التعريف تصبح :

يتضح لدينا أن مجموعة التعريف هي كل الأعداد الحقيقية ما عدا x = 1 ، x = -1

مثال (4) : لتكن لدينا الدالة :

حدد مناطق الاستمرارية ومناطق عدم الاستمرارية للدالة f.

الحل :

لتوضيح الحل : نقوم برسم منحنى الدالة والذي هو كما يلي:

شكل (2-1)

الدالة الكسرية هي مستمرة عند كل النقاط . وعند القيمة x = -1 لدينا :

وعليه فإن الدالة مستمرة عند النقطة x = -1 ، وعليه الدالة مستمرة في IR.

مثال (5) : لتكن لدينا الدالة  : [x] f(x) = .

1- مثل الدالة [x] y = في الفترة الحقيقية.

2- ادرس استمرارية الدالة f.

الحل :

1- يتم تمثيل الدالة على الفترة المختصرة [-2 , 5]، ويمكن تمديد المنحنى إلى كل الأعداد الحقيقية مراعاة التغيرات البسيطة ، والمنحنى الدالة المستهدفة هو :

شكل (3-1)

2- لكل قيم الأعداد الحقيقية غير الصحية يتبين أن : . وعلية لدينا: