معادلة شرودنجر لجزيئة ثنائية الذرة

المعادلة (i) في تقريب بورن – اوبنهايمر للجزيئة الثنائية الذرة،

..............(i)

تاخذ الشكل:

................(1)

حيث (R= (R_a ,R_b تمثل احداثيات النوى، |r= |R_a - R_b المسافة بين النواتين، m₁ كتلة النواة الاولى، وm₂ كتلة النواة الثنائية. ان المعادلة (1) تصف حركة النواة في الجهد (V(r) = E⁽⁰⁾_n(r  والاحداثيات 2 والاحداثيات 1 مستقلة عن بعضها البعض تستخدم احداثيات مركز الكتلة: 

وكذلك نعرف نظام الاحداثيات النسبية:

الذي يصف حركة جسيم بالنسبة الى جسيم آخر.

قد تتحرك الجزيئة حركة انتقالية (انتقال مركز كتلة الجزيئة) او تدور حول مركز كتلتها. في حالة وجود حركة انتقالية فان الاحداثيات x، y، z  تبقى ثابتة بينما الاحداثيات X، Y، Z 

تؤخذ كمتغيرات. عند الدوران او الاهتزاز الخطي فان الاحداثيات X، Y، Z  تبقى ثابتة بينما الاحداثيات  x، y، z تتغير. نعرف الكتلة المختزلة الدائرة بمسافة r عن محور الدوران والتي تكافئ الجسمين الدائرين m₁ وm₂ وندخل هذه الاحداثيات في معادلة شرودنجر:

..................(2)

يمثل الحدان الاول والثاني الى يسار المعادلة (2) حركتين مستقلتين عن بعضهما البعض لذلك فان حل هذه المعادلة يمكن وضعه بشكل حاصل الضرب:

...................(3)

اذا عوضنا (3) في المعادلة نحصل على علاقتين: الاولى للدالة الموجية χ₁ والثاني للدالة الموجية χ₂. ان الجهد (V(r لا يعتمد على الاتجاه بل على مقدار المسافة الفاصلة بين الجسمين فقط وكذلك (V=V(x,y,z لان (r = r(x,y,z وبعد التعويض نحصل على:

...................(4)

حيث E ثابت وM كتلة الجزيئة الكلية. لكي يساوي الطرف الايسر الصفر المعادلة 3-4 فان كل حد يجب ان يساوي مقدارا ثابتا:

حيث ياخذ الثابتان C₁ و C₁₁ قيما عشوائية اعتمادا على الاحداثيات ونستطيع ان نكتب E = C₁+C₁₁ حيث يمثل الثابت C₁=E_tra حركة الجزيئة الانتقالية ويمثل الثابت C₁₁=E_rot + E_vib حركة الجزيئة الدورانية والاهتزازية.