المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
أضيف حديثاً
من هم المحسنين؟
2024-11-23
ما هي المغفرة؟
2024-11-23
{ليس لك من الامر شيء}
2024-11-23
سبب غزوة أحد
2024-11-23
خير أئمة
2024-11-23
يجوز ان يشترك في الاضحية اكثر من واحد
2024-11-23

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024

مختارات
Kempe Chain
29-3-2022
نظرة الإسلام للمرأة والتديّن
2024-09-17
THE CAVENDISH EXPERIMENT
22-11-2020
الموطن الأصلي للدخن
15/11/2022
اللَّه والفطرة
9-11-2014
الاستخدامات الرئيسية لأصناف العسل النادرة
26/10/2022

Ramanujan Continued Fractions  
  
580   05:15 مساءً   date: 12-5-2020
Author : Berndt, B. C. and Rankin, R. A.
Book or Source : Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995.
Page and Part : ...


Read More
e-Prime
Date: 22-9-2020 538
Continued Fraction Constants
Date: 30-1-2020 699
RSA Number
Date: 29-8-2020 868

Ramanujan Continued Fractions

Ramanujan developed a number of interesting closed-form expressions for generalized continued fractions. These include the almost integers

1/(1+)(e^(-2pi))/(1+)(e^(-4pi))/(1+...) = (sqrt((5+sqrt(5))/2)-(sqrt(5)+1)/2)e^(2pi/5)

(1)
= e^(2pi/5)(sqrt(phisqrt(5))-phi)

(2)
= 0.9981360...

(3)

(OEIS A091667; Watson 1929, 1931; Hardy 1999, p. 8), where phi is the golden ratio, its multiplicative inverse

1+(e^(-2pi))/(1+)(e^(-4pi))/(1+)(e^(-6pi))/(1+...) = 1/2[1+sqrt(5)+sqrt(2(5+sqrt(5)))]e^(-2pi/5)

(4)
= (e^(-2pi/5))/(sqrt(phisqrt(5))-phi)

(5)
= 1.0018674...

(6)

(OEIS A091899; Ramanathan 1984), and

1/(1+)(e^(-2pisqrt(5)))/(1+)(e^(-4pisqrt(5)))/(1+...) = {(sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)-1]^(1/5))-phi}e^(2pi/sqrt(5))

(7)
= 0.99999920...

(8)

(OEIS A091668; Watson 1929, 1931; Ramanathan 1984; Berndt and Rankin 1995, p. 57; Hardy 1999, p. 8) and its multiplicative inverse

1+(e^(-2pisqrt(5)))/(1+)(e^(-4pisqrt(5)))/(1+...) = (e^(-2pi/5))/((sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)]^(1/5))-phi)

(9)
= 1.000000791267...

(10)

(OEIS A091900).

Other examples include the integrals

4int_0^infty(xe^(-xsqrt(5)))/(coshx)dx = 1/2[zeta(2,1/4(1+sqrt(5)))-zeta(2,1/4(3+sqrt(5))]

(11)
= 1/2[psi_1(1/4(1+sqrt(5)))-psi_1(1/4(3+sqrt(5)))]

(12)
= 1/(1+)(1^2)/(1+)(1^2)/(1+)(2^2)/(1+)(2^2)/(1+)(3^2)/(1+)(3^2)/(1+)...

(13)
= 0.5683000...

(14)

(OEIS A091659; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65; Hardy 1999, p. 8), where zeta(a,z) is the Hurwitz zeta function and psi_1(z) is the trigamma function, and

2int_0^infty(x^2e^(-xsqrt(3)))/(sinhx)dx = -1/2psi_2(1/2(1+sqrt(3)))

(15)
= 1/(1+)(1^3)/(1+)(1^3)/(3+)(2^3)/(1+)(2^3)/(5+)(3^3)/(1+)(3^3)/(7+)...

(16)
= 0.5269391...

(17)

(OEIS A091660; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65), where psi_2(z) is a polygamma function.

REFERENCES:

Berndt, B. C. and Rankin, R. A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Perron, O. "Über die Preeceschen Kettenbrüche." Sitz. Bayer. Akad. Wiss. München Math. Phys. Kl., 21-56, 1953.

Preece, C. T. "Theorems Stated by Ramanujan (X)." J. London Math. Soc. 6, 22-32, 1931.

Ramanathan, K. G. "On Ramanujan's Continued Fraction." Acta. Arith. 43, 209-226, 1984.

Sloane, N. J. A. Sequences A091659, A091660, A091667, A091668, A091899, and A091900 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (VII): Theorems on a Continued Fraction." J. London Math. Soc. 4, 39-48, 1929.

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (IX): Two Continued Fractions." J. London Math. Soc. 4, 231-237, 1929.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
تفوقت في الاختبار على الجميع.. فاكهة "خارقة" في عالم التغذية
التاريخ / 2024-11-23

الأخبار العلمية
أمين عام أوبك: النفط الخام والغاز الطبيعي "هبة من الله"
التاريخ / 2024-11-23

الساحة الاسلامية
المجمع العلمي ينظّم ندوة حوارية حول مفهوم العولمة الرقمية في بابل
التاريخ / 2024-11-22