جمع المتجهات Addition of Vectors

لفهم القاعدة في جمع المتجهات ، فإننا سنأخذ حالة الإزاحة . ففي الشكل (1) ، اذا تحركت الدقيقة المادية من أ إلى ب فإن ازاحتها هي r₁  واذا تحركت إلى ج بإزاحة r₂ فإن الإزاحة الكلية هي :

(1-1) …………..       r = r₁ + r₂

ونلاحظ هنا أن الإزاحة الكلية هذه مساوية لإزاحة الدقيقة فيما لو تحركت من أ إلى ج مباشرة . صحيح أن المسافة المقطوعة في الحالتين مختلفة ، إلا أن النتيجة الكلية واحدة وهي r  .

الشكل (1)

والجمع في المعادلة (1-1) هو جمع اتجاهي . ويجب أن لا يخلط بينه وبين الجمع العددي r = r₁ + r₂ ، فهنا يجوز تعويض قيم كل من r₂ ، r₁ مباشرة ؛ أما في الجمع الاتجاهي في المعادلة (1-1) ، فلا يجوز تعويض المقادير مباشرة ؛ فمثلا لدينا المتجهات الثلاثة C , B , A حيث C = A + B

 5 = |A| وحدات ، 6 = |B| وحدات . هنا لا يجوز أن نقول |C| = 5+6 = 11 ، بل نجد مقدار المتجه C  بإحدى طريقتين ، هما : طريقة الرسم ، وطريقة الحساب .

1-1 طريقة  الرسم :

تتم طريقة الرسم هذه باسم يتم اختيار مقياس رسم مناسب . ثم نرسم احد المتجهات المراد جمعها مقداراً واتجاها . من نهاية هذا المتجه نرسم موازيا للمتجه الثاني ويمثله مقدارا واتجاها ، من نهاية المتجه الثاني ، نرسم موازيا للمتجه الثالث ويمثله مقداراً واتجاها ، ومن نهاية المتجه الثاني ، نرسم موازيا للمتجه الثالث ومثله مقدارا واتجاها ، وهكذا حتى نهاية المتجهات جميعها . فمثلا لو أردنا جمع المتجهات : D, C, B, A في الشكل (2- أ) ، نجد أن المحصلة كما هي مبينة في الرسم (2- ب) هي R . ولإيجاد مقدار R ، نقيسها بالمسطرة ، ونضرب في مقياس الرسم . أما اتجاه R  ، فنجده من قياس الزاوية (a) التي يصنعها حاصل الجمع مع المتجه A ، حيث :

الشكل (2)

إذا كان المراد هو إيجاد مجموع متجهين ، فإن الشكل المغلق الذي نحصل عليه هو مثلث ، أما إذا كان المطلوب هو إيجاد ناتج جمع أكثر من متجهين ، فإن الشكل المغلق المتكون هو مضلع يسمى بمضلع القوى . وسواء كان الشكل مثلثاً أم مضلعاً ، فإن ناتج الجمع المحصلة يكون اتجاهه بعكس الاتجاه الدوراني لأسهم المتجهات المكونة للمضلع . فإذا كان الاتجاه الدوراني لأسهم المتجهات هو عكس عقارب الساعة ، فإن اتجاه المحصلة يكون باتجاه عقارب الساعة . وتسمى طريقة الرسم هذه أيضاً طريقة الرسم من الرأس إلى الذيل ، لأن ذيل المتجه يلتقي مع رأس المتجه الذي يسبقه .... وهكذا .

الشكل (3)

1-2 طريقة الحساب (طريقة متوازي الاضلاع) :

تعد هذه الطريقة الحسابية طريقة سهلة في إيجاد مقدار واتجاه محصلة ، أو ناتج جمع متجهين بينهما زاوية ، فإذا رسمنا المتجهين B,A من النقطة " O " نفسها وكانت الزاوية بينهما 0 ثم أكملنا متوازي الاضلاع الذي يكون فيه المتجهان B , A ضلعين متجاورين ، فإن قطر متوازي الاضلاع  '' OP ''الذي يتحد مع المتجهين في نقطة البداية يكون هو ناتج جمع المتجهين B , A مقدارا واتجاها ، كما في الشكل (4) .

الشكل (4)

وليس شرطا هنا أن يتم الرسم بمقياس رسم ، أو أن يكون دقيقاً تماما ، لأن الرسم هو فقط لبيان موقع المحصلة أو ناتج الجمع من المتجهين : أما مقدار المحصلة واتجاهها ، فيتم ايجادهما بطريقة حسابية كما يأتي :

أ- حساب مقدار حاصل الجمع R = A + B

لحساب مقدار R فإننا نستخدم قانون جيب التمام الذي يعطى بالعلاقة :

(1)......

حيث θهي الزاوية المحصورة بين المتجهين A , B

ب- ايجاد اتجاه المحصلة R .

لا يجاد الاتجاه فإننا نجد الزاوية المحصورة بين المحصلة R وبين أي من المتجهين A أو B فإذا فرضنا أن الزاوية بين  A , R هي a ، فإننا نجد مقدار الزاوية a من قانون الجيب الذي ينص على أنه : في أي مثلث ، ناتج قسمة طول الضلع على جيب الزاوية المقابلة له يساوي ناتج قسمة الضلع الآخر على جيب الزاوية المقابلة له . وعليه فإن المعادلة حسب القانون هي :

(2)......

ومنه ، فإن الزاوية (a) تساوي :

(3)........

أي أن (a) هي الزاوية التي جيبها المقدار داخل القوس ، علما بأن :

وفي حالة الخاصة التي يكون فيها المتجهان متعامدين ، أي 90° = 0 ، فإن العلاقتين السابقتين تصبحان :

(4).........

(5)........

حيث (a) هي الزاوية بين المحصلة R والمتجه A .

والجدير بالذكر أنه يمكن استخدام طريقة متوازي الأضلاع لحساب مجموع ثلاثة متجهات أو اكثر ، وذلك بإيجاد محصلة متجهين أولا ، وبعد معرفة الزوايا ، نجد محصلة هذه المحصلة والمتجه الثالث ، وهكذا إلا أن هذه الطريقة طويلة وغير عملية ، ويستعاض عنها بطريقة التحليل التي سنبحثها في بند لاحق . ويمكن الاستنتاج من طريقة متوازي الأضلاع أن عملية جمع المتجهات عملية قابلة للتبديل '' commutaive " أي أن :

 (6) …………….         A + B = B + A