تطبيقات قانون جاوس Applications of Gauss’s law

إن قانون جاوس يطبق على توزيع متصل من الشحنة، وهذا التوزيع إما أن يكون توزيعاً طولياً أو توزيعاً سطحياً أو توزيعاً حجمياً. يوجد على كل حالة مثال محلول في الكتاب سنكتفي هنا بذكر بعض النقاط الهامة.

على سبيل المثال إذا أردنا حساب المجال الكهربي عند نقطة تبعد مسافة عن سلك مشحون كما في الشكل 1.1 ، هنا في هذه الحالة الشحنة موزعة بطريقة متصلة، وغالبا نفترض أن توزيع الشحنة منتظم ويعطى بكثافة التوزيع λ(C/m) ، ولحل مثل هذه المشكلة نقسم السلك إلى عناصر صغيرة طول كلا منها dx ونحسب المجال dE الناشئ عند نقطة (p)

ومن التماثل نجد أن المركبات الأفقية تتلاشى والمحصلة تكون في اتجاه المركبة الرأسية التي في اتجاه y

من الشكل الهندسي يمكن التعويض عن المتغير x والمتغير dx كما يلي:

لاشك أنك لاحظت صعوبة الحل باستخدام قانون كولوم في حالة التوزيع المتصل للشحنة، لذلك سندرس قانون جاوس الذي يسهل الحل كثيراً في مثل هذه الحالات والتي بها درجة عالية من التماثل.

Gauss’s law can be used to calculate the electric field if the symmetry of the charge distribution is high. Here we concentrate in three different ways of charge distribution

 A linear charge distribution

In figure 1.2 calculate the electric field at a distance r from a uniform positive line charge of infinite length whose charge per unit length is λ=constant.

The electric field E is perpendicular to the line of charge and directed outward. Therefore for symmetry we select a cylindrical gaussian surface of radius r and length L.

The electric field is constant in magnitude and perpendicular to the surface.

The flux through the end of the gaussian cylinder is zero since E is parallel to the surface.

The total charge inside the gaussian surface is λL.

Applying Gauss law we get

A surface charge distribution

In figure 1.3 calculate the electric field due to non-conducting, infinite plane with uniform charge per unit area σ.

The electric field E is constant in magnitude and perpendicular to the plane charge and directed outward for both surfaces of the plane. Therefore for symmetry we select a cylindrical gaussian surface with its axis is perpendicular to the plane, each end of the gaussian surface has area A and are equidistance from the plane.

The flux through the end of the gaussian cylinder is EA since E is perpendicular to the surface.

The total electric flux from both ends of the gaussian surface will be 2EA.

Applying Gauss law we get

An insulated conductor.

أن الشحنة توزع على سطح الموصل فقط، وبالتالي فإن قيمة المجال داخل مادة الموصل تساوي صفراً ، وقيمة المجال خارج الموصل تساوي

لاحظ هنا أن المجال في حالة الموصل يساوي ضعف قيمة المجال في حالة السطح اللانهائي المشحون، وذلك لأن خطوط المجال تخرج من السطحين في حالة السطح غير الموصل، بينما كل خطوط المجال تخرج من السطح الخارجي في حالة الموصل.

في الشكل الموضح اعلاه 1.4 نلاحظ ان الوجه الامامي لسطح جاوس له فيض حيث ان الشحنة تستقر على السطح الخارجي، بينما يكون الفيض مساويا للصفر للسطح الخلفي الذي يخترق الموصل وذلك لان الشحنة داخل الموصل تساوي صفرا.

A volume charge distribution

In figure 1.5 shows an insulating sphere of radius a has a uniform charge density ρ and a total charge Q.

1) Find the electric field at point outside the sphere (r>a)

2) Find the electric field at point inside the sphere (r

For r > a

We select a spherical gaussian surface of radius r, concentric with the charge sphere where r>a. The electric field E is perpendicular to the gaussian surface as shown in figure 1.5. Applying Gauss law we get

Note that the result is identical to appoint charge.

For r < a

We select a spherical gaussian surface of radius r, concentric with the charge sphere where r

It is important at this point to see that the charge inside the gaussian surface of volume V` is less than the total charge Q. To calculate the charge q<sub>in</sub>, we use q<sub>in</sub>=ρV`, where V`=4/3πr³. Therefore,

Note that the electric field when ra the electric field is proportional to 1/r².