العلاقة النسبوية بين الكتلة والطاقة

 أن نظرية النسبية لأينشتين تتنبأ بأن كتلة جسم ما تعتمد على مقدار سرعته، وأن هذا التأثير يصبح ملحوظاً جداً عندما تقترب تلك السرعة من سرعة الضوء c، وبما أننا لم نكن حينئذ قد تعرفنا على فروض النسبية لشرح هذا التأثير فسنفعل ذلك الآن.

تنص هذه الفروض على أنه لا يمكن تعجيل جسم إلى سرعات تزيد على سرعة الضوء. ويصطدم هذا القيد المفروض على السرعة مع قوانين نيوتن للحركة. فقوانين نيوتن تتنبأ بأن سرعة جسم ما قد تستمر في الزيادة دون قيود طالما استمرت القوة المحصلة في التأثير على الجسم:

حيث اعتبرت كتلة الجسم m ثابتة. وهذه المعادلة تخرق حد السرعة الذي يفترضه أينشتين ، لأنه بعد فترة زمنية كافية سيصبح المقدار v₀ + (F/m)t أكبر من c. وقد قرر أينشتين أنه لكي يظل التوافق مع فروض النسبية ومع قانون بقاء كمية التحرك، فإن كتلة الجسم لا بد أن تتزايد بزيادة سرعته. وبهذه الطريقة يقل المقدار F/m مع زيادة t، بحيث تقترب v من القيمة الحدية للسرعة وهي c يصبح t كبيراً جداً. وقد أدت فروض أينشتين به إلى استنتاج أن العلاقة بين الكتلة والسرعة لابد أن تكون على الصورة:

(1)             

حيث يطلق على m₀ كتلة السكون، وهي تساوي الكتلة التي استخدمناها في قوانين نيوتن. اما الكتلة التي  تعتمد قيمتها على السرعة فتسمى الكتلة الظاهرية للجسم.

أن الكتلة الظاهرية m تظل قريبة من قيمة كتلة السكون m₀ طالما كان المقدار v/c أقل من بضعة أعشار. وكلما اقتربت v من c، أي كلما v/c → 1 فإن   وهو ما يجعل الكتلة الظاهرية تقترب من ما لا نهاية:

وتغير الكتلة مع السرعة، يمكن أن يستخدم لتبرير حقيقة انه لا يمكن أن يجعل أي جسم إلى سرعات تزيد على سرعة الضوء، فالكتلة اللانهائية تستلزم قوة لا نهائية لتعجيلها. وحيث أن القوى اللانهائية غير متاحة عملية، فإن الواضح أن جسماً سرعته v → c لا يمكن أن يعجل إلى سرعة الضوء، وهي السرعة التي تكون الكتلة عندها لا نهائية.

إن القوة التي تعمل على تعجيل (تسارع) جسم ما، تزود ذلك الجسم بالطاقة. ونعلم أنه عند السرعات المنخفضة يكون الشغل المبذول من جانب القوة الخالصة المطبقة مساوياً للزيادة في طاقة حركة الجسم ما لم تكن هناك تغيرات ملموسة في طاقة الوضع والشغل نتيجة الاحتكاك. ويظل هذا الأمر صحيحاً عند سرعات قريبة من c، وإن كانت طاقة حركة الجسم عندئذ ليست مجرد m₀v²½، كما وأنها ليست كما قد يخمن البعض m₀v²½ إذ إنها بدلاً من ذلك ستكون:

(2)           

وتختصر المعادلة ((2، عندما v << c، إلى المعادلة الكلاسيكية لطاقة الحركة، KE = ½m₀v².

وعندما لا تكون على علم بسرعة الجسم ولكنك تعرف مقدار الطاقة التي أعطيت لذلك الجسم، فإن هناك وسيلة مفيدة جداً لتحديد ما إذا كان عليك أن تستخدم المعادلة (2) أو m₀v²½  لحساب طاقة حركة الجسم. عليك أولاً أن تحسب طاقة كتلة سكون الجسم m₀c²، ثم تقارنها بمقدار الطاقة التي أعطيت للجسم. فإذا كانت تلك الطاقة أكبر من واحد أو اثنين من عشرة أجزاء من طاقة كتلة سكون الجسم فعندئذ يقال أن الجسم " نسبوي" وعليك استخدام المعادلة (2). أما إذا كانت الطاقة المعطاة للجسم أقل من ذلك، فإن الجسم يكون عندئذ " كلاسيكي" وتكون المعادلة KE = ½m₀v² عندئذ كافية. (وكما هو الحال دائماً، فإن هذا يعتمد على الدقة التي تحتاجها في حساباتك).

تنص المعادلة (2) على أن طاقة الحركة هي الفرق بين الحدين mc² و m₀c⁰ وعلاوة على ذلك فهي تقتضي أن يظل الجسم محتوياً في حالة السكون (KE = 0) على بعض الطاقة الأساسية، m₀c² ، وهي ما نطلق عليه طاقة كتلة السكون. وقد تمكن أينشتين من إثبات أن علاقة شبيعة بالمعادلة (2) يمكن أن تنطبق على كل أنواع الطاقة. وقد أثبت أنه بالنسبة لأي تغير في طاقة جسم ما، فإن هناك تغيراً مناظراً في كتلة الجسم، ويعطى بالمعادلة:

(3)           

(وغالباً ما تكتب هذه العلاقة على صورة E = mc² وهي من أشهر معادلات أينشتين).