أمثلية باريتو باستخدام صيغ رياضية

لقد فرضنا وجود مستهلكين B ، A وكذلك توجد سعلتين Y ، X وبذلك تكون دالة المنفعة للمستهلكين كما يلي:

أي أن دالة منفعة المستهلك A ومستوى اشباعه يتحدد بالكمية المستهلكة من السلعتين وكذلك بالنسبة لـ B

وبما ان :

ويأخذ الاشتقاقات الجزئية ومساوتها بالصفر

وبقسمة المعادلة (1) على (2) وتنظم الحدود ينتج 

والطرف الايسر يمثل MRS للمستهلك A والطرف الايمن يمثل MRS للمستهلك B وبذلك تحققت أمثلية باريتو للاستهلاك يتساوى MRS لكل المستهلكين اما امثلية باريتو للانتاج فيمكن اشتقاقها كما يلي : 

نفترض وجود اثنين من المنتجين 1 ، 2 وانه يستخدمان اثنين من عناصر الانتاجK,L , لانتاج سلعتينX  ، Y فتكون دالة الانتاج كما يلي :

وبقسمة (1) على (2) وتنظم الحدود ينتج

والطرف الايسر هو RTS للمنتج والطرف الايمن هو RTS للمنتج الثاني وبذلك تحققت امثلية باريتو للانتاج يساوي RTS لكل المنتجين .  

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 

(  ) مضروب لاكرانج: وهو رقم لا تهمنا قيمته لأنه عادة ما يضرب بمقدار قيمته صفر، ويستخدم عندما تحتوي المسائل على معادلات عددها أكبر من عدد المجاهيل، وهو يستخدم في دوال المقيدة في قيود معينة مثل دوال تعظيم المنفعة تحت قيد الدخل.