Elliptic Integral of the Second Kind

Let the elliptic modulus  satisfy . (This may also be written in terms of the parameter  or modular angle .) The incomplete elliptic integral of the second kind is then defined as

(1)

The elliptic integral of the second kind is implemented in the Wolfram Language as EllipticE[phi, m] (note the use of the parameter  instead of the modulus ).

The complete elliptic integral of the second kind  is defined by

(2)

To place the elliptic integral of the second kind in a slightly different form, let

			(3)
			(4)

so the elliptic integral can also be written as

			(5)
			(6)

A generalization replacing  with  in (1) gives

(7)

The incomplete elliptic integral of the second kind of the form  can be written in terms of complete elliptic integrals of the first  and second kinds  as

(8)

for .

REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Elliptic Integrals." Ch. 17 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 587-607, 1972.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Complete Elliptic Integrals  and " and "The Incomplete Elliptic Integrals and ." Chs. 61 and 62 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 609-633, 1987.

Tölke, F. "Parameterfunktionen." Ch. 3 in Praktische Funktionenlehre, zweiter Band: Theta-Funktionen und spezielle Weierstraßsche Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 83-115, 1966.

Tölke, F. "Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und elliptische Normalintegrale erster Gattung. Elliptische Amplitudenfunktionen sowie Legendresche F- und E-Funktion. Elliptische Normalintegrale zweiter Gattung. Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktionen," and "Normalintegrale dritter Gattung. Legendresche -Funktion. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals auf Normalintegrale erster, zweiter, und dritter Gattung." Chs. 6-7 in Praktische Funktionenlehre, dritter Band: Jacobische elliptische Funktionen, Legendresche elliptische Normalintegrale und spezielle Weierstraßsche Zeta- und Sigma Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 58-144, 1967.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.